Unter einem Produkt versteht man das Ergebnis einer Multiplikation sowie auch einen Term, der eine Multiplikation darstellt. Die verknüpften Elemente heißen Faktoren.
In diesem Sinne ist ein Produkt eine Abbildung der Form
⋅:A×B→C{\displaystyle \cdot \;:\;A\times B\;\rightarrow \;C}wobei man das Produkt von a∈A{\displaystyle a\in A}
Abgeleitet vom lateinischen Wort producere in der Bedeutung (her-)vorbringen ist „Produkt“ ursprünglich die Bezeichnung des Ergebnisses einer Multiplikation zweier Zahlen (von lat.: multiplicare = vervielfachen).[1] Die Verwendung des Malpunktes ⋅{\displaystyle \;\cdot \;}
Hier ist stets A=B=C{\displaystyle A=B=C}
Ordnet man etwa Spielsteine in einem rechteckigen Schema in r Reihen zu je s Steinen an, so benötigt man dafür
r⋅s=∑i=1sr=∑j=1rs{\displaystyle r\cdot s=\sum _{i=1}^{s}r=\sum _{j=1}^{r}s}Spielsteine. Die Multiplikation ist hier eine Kurzschreibweise für die mehrfache Addition von r Summanden (entsprechend den r Reihen), die sämtliche den Wert s tragen (in jeder Reihe stehen s Steine). Man kann die Gesamtzahl aber auch dadurch berechnen, dass man die Zahl s (entsprechend der Anzahl der hintereinander in einer Spalte stehenden Steine) insgesamt r Mal (entsprechend der Anzahl r solcher nebeneinander angeordneter Spalten von Steinen) addiert (man benötigt hierfür r-1 Pluszeichen). Damit ist bereits die Kommutativität der Multiplikation zweier natürlicher Zahlen gezeigt.
Zählt man die Zahl 0 zu den natürlichen Zahlen, so bilden diese einen Halbring. Zu einem Ring fehlen die inversen Elemente bzgl. der Addition: Es gibt keine natürliche Zahl x mit der Eigenschaft 3+x=0.
Ein Produkt, bei dem die Zahl 0 als ein Faktor auftritt, hat stets den Wert Null: Eine Anordnung von Null Reihen von Spielsteinen umfasst unabhängig von der Zahl der Steine pro Reihe keinen einzigen Stein.
Durch Hinzufügen der negativen ganzen Zahlen erhält man den Ring Z{\displaystyle \mathbb {Z} }
In Worten ausgedrückt besagt diese Tabelle:
- Minus mal Minus ergibt Plus
- Minus mal Plus ergibt Minus
- Plus mal Minus ergibt Minus
- Plus mal Plus ergibt Plus
Für eine streng formale Definition über Äquivalenzklassen von Paaren natürlichen Zahlen vergleiche man den Artikel über ganze Zahlen.
In den ganzen Zahlen kann man uneingeschränkt addieren, subtrahieren und multiplizieren. Die Division durch eine von Null verschiedene Zahl ist nur möglich, falls der Dividend ein Vielfaches des Divisors ist. Diese Einschränkung lässt sich mit dem Übergang zum Körper der rationalen Zahlen, also zur Menge Q{\displaystyle \mathbb {Q} }
Gegebenenfalls lässt sich das Ergebnis noch kürzen.
Wie bereits Euklid nachweisen konnte, gibt es keine rationale Zahl, deren Quadrat Zwei ergibt. Ebenso ist das Verhältnis von Kreisumfang zu Kreisdurchmesser, also die Kreiszahl π, nicht als Quotient zweier ganzer Zahlen darstellbar. Beide „Lücken“ werden durch eine sogenannte Vervollständigung im Übergang zum Körper der reellen Zahlen R{\displaystyle \mathbb {R} }
Jede reelle Zahl lässt sich als ein unendlicher Dezimalbruch auffassen. So sind etwa 2=1,4142…{\displaystyle {\sqrt {2}}=1{,}4142\ldots }
Selbst über der Menge der reellen Zahlen gibt es unlösbare Gleichungen wie etwa x2=−1{\displaystyle x^{2}=-1}
Geometrische Deutung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Eine komplexe Zahl in Polarkoordinaten
Eine komplexe Zahl lässt sich auch in ebenen Polarkoordinaten schreiben:
a+bi=r⋅(cos(φ)+isin(φ))=r⋅eiφ{\displaystyle a+b\,\mathrm {i} =r\cdot (\cos(\varphi )+\mathrm {i} \sin(\varphi ))=r\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }}Ist ferner
c+di=s⋅(cos(ψ)+isin(ψ))=s⋅eiψ{\displaystyle c+d\,\mathrm {i} =s\cdot (\cos(\psi )+\mathrm {i} \sin(\psi ))=s\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \psi }}so gilt aufgrund der Additionstheoreme für Sinus und Cosinus
(a⋅c−b⋅d)+(a⋅d+b⋅c)i=r⋅s⋅(cos(φ+ψ)+isin(φ+ψ))=r⋅s⋅ei(φ+ψ){\displaystyle (a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)\,\mathrm {i} =r\cdot s\cdot (\cos(\varphi +\psi )+\mathrm {i} \sin(\varphi +\psi ))=r\cdot s\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\varphi +\psi )}}Geometrisch bedeutet das: Multiplikation der Längen bei gleichzeitiger Addition der Winkel.
Selbst die komplexen Zahlen lassen sich noch algebraisch erweitern. Es entsteht ein reell vierdimensionaler Raum, die sogenannten hamiltonschen Quaternionen H{\displaystyle \mathbb {H} }
Dass das Produkt zweier Zahlen genau dann ungerade ist, wenn beide Faktoren ungerade sind, ist eine weithin bekannte Tatsache. Ähnliche Regeln gelten auch bezüglich der Teilbarkeit durch eine ganze Zahl N größer als Zwei. Die geraden Zahlen entsprechen hierbei den Vielfachen von N; eine gerade Zahl ist ohne Rest durch Zwei teilbar. Bei den ungeraden Zahlen sollte man unterscheiden, welcher Rest bei der ganzzahligen Division dieser Zahl durch N übrig bleibt. Modulo 3 – so die Sprechweise – gibt es drei Restklassen ganzer Zahlen: Solche, die Vielfache von Drei sind, solche mit Rest 1 und solche mit Rest 2. Das Produkt zweier solcher Zahlen hat stets Rest Eins modulo Drei.
Die Menge dieser Restklassen, Z/NZ{\displaystyle \mathbb {Z} /N\mathbb {Z} }
eine Addition und durch
(a+NZ)⋅(b+NZ)=a⋅b+NZ{\displaystyle (a+N\mathbb {Z} )\cdot (b+N\mathbb {Z} )=a\cdot b+N\mathbb {Z} }eine Multiplikation erklärt. Der so entstehende Ring heißt der Restklassenring modulo N. Genau dann, wenn N eine Primzahl ist, handelt es sich hierbei sogar um einen Körper. Beispiel: modulo 5 ist die Restklasse von 2 invers zu der von 3, da 6 modulo 5 Eins ist. Das systematische Auffinden von multiplikativen Inversen modulo N erfolgt mittels des Euklidischen Algorithmus.
Ist der Ring R kommutativ, so bildet die Menge F:=RM{\displaystyle \mathbb {F} :=R^{M}}
für alle m∈M{\displaystyle m\in M}
Wählt man als Ring R die reellen Zahlen R{\displaystyle \mathbb {R} } mit den üblichen Addition und Multiplikation, und als M etwa eine offene Teilmenge von R{\displaystyle \mathbb {R} } oder allgemeiner von Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
Seien f,g:R→R{\displaystyle f,g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \,}
Dann ist das uneigentliche Integral
(f∗g)(t):=∫−∞∞f(τ)⋅g(t−τ)dτ{\displaystyle (f*g)(t)\;:=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\cdot g(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau }für jede reelle Zahl t ebenfalls endlich. Die dadurch definierte Funktion f*g heißt das Faltungsprodukt oder die Konvolution von f und g. Dabei ist f*g wieder integrierbar mit endlichem uneigentlichem Betragsintegral. Ferner gilt f*g=g*f, d. h., die Faltung ist kommutativ.
Nach Fourier-Transformation ist das Faltungsprodukt bis auf einen konstanten Normierungsfaktor das punktweise definierte Produkt (sog. Faltungstheorem). Das Faltungsprodukt spielt eine wichtige Rolle in der mathematischen Signalverarbeitung.
Die gaußsche Glockenkurve lässt sich dadurch charakterisieren, dass ihre Faltung mit sich selbst wieder eine etwas in die Breite gezogene Glockenkurve ergibt (vgl. hier). Genau diese Eigenschaft liegt dem zentralen Grenzwertsatz zugrunde.
Die Menge R[X]{\displaystyle \mathbb {R} [X]}
mit
ck=∑i+j=kai⋅bj{\displaystyle c_{k}=\sum _{i+j=k}a_{i}\cdot b_{j}}Diese Ringe spielen in vielen Bereichen der Algebra eine große Rolle. So lässt sich etwa der Körper der komplexen Zahlen formal elegant als Faktorring R[X]/(X2+1){\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)}
Beim Übergang von endlichen Summen zu absolut-konvergenten Reihen bzw. formalen Potenzreihen wird aus dem hier besprochenen Produkt das sog. Cauchy-Produkt.
Die lineare Algebra beschäftigt sich mit Vektorräumen und linearen Abbildungen zwischen solchen. In diesem Zusammenhang treten verschiedenartige Produkte auf. Im Folgenden wird zur Vereinfachung als Grundkörper zumeist der Körper der reellen Zahlen verwendet.
Bereits in der Definition eines Vektorraums V taucht der Begriff der Skalarmultiplikation auf. Damit lassen sich Vektoren ganz allgemein um einen reellen Faktor „strecken“, wobei im Falle der Multiplikation mit einem negativen Skalar auch noch die Richtung des Vektors umgedreht wird.
Das Skalare Produkt ist eine Abbildung R×V→V{\displaystyle \mathbb {R} \times V\rightarrow V}
Davon strikt zu unterscheiden ist der Begriff eines Skalarprodukts. Dabei handelt es sich um eine bilineare Abbildung
⋅:V×V→R{\displaystyle \cdot :V\times V\rightarrow \mathbb {R} }mit der zusätzlichen Forderung, dass v⋅v>0{\displaystyle v\cdot v>0}
Daher ist der Ausdruck ‖v‖:=v⋅v{\displaystyle \|v\|:={\sqrt {v\cdot v}}}
Ebenso gestattet das Skalarprodukt die Definition eines Winkels zwischen zwei von Null verschiedenen Vektoren v und w:
cos∠(v,w)=v⋅w‖v‖⋅‖w‖{\displaystyle \cos \angle (v,w)={\frac {v\cdot w}{\|v\|\cdot \|w\|}}}Die Polarisationsformel zeigt, dass ein solcher Längenbegriff umgekehrt stets zu einem Skalarprodukt und somit auch zu einem Winkelbegriff führt.
In jedem n-dimensionalen Euklidischen Raum lässt sich durch Orthonormalisierung eine Orthonormalsystem finden. Stellt man alle Vektoren als Linearkombination bezüglich einer Orthonormalbasis e1,…en{\displaystyle e_{1},\ldots e_{n}}
Im R3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
Beim Kreuzprodukt handelt es sich um eine Abbildung
×:R3×R3→R3{\displaystyle \times :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}Wie jedes Lie-Produkt ist es antikommutativ: v×w=−w×v{\displaystyle v\times w=-w\times v}
Beim sogenannten Spatprodukt – ebenfalls nur im R3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} erklärt – handelt es sich nicht um ein Produkt zweier, sondern dreier Vektoren. In moderner Sprechweise stimmt es mit der Determinante von drei nebeneinander geschriebener Spaltenvektoren überein und lässt sich wohl am einfachsten nach der Regel von Sarrus berechnen. Formal liegt eine Abbildung
det:R3×R3×R3→R{\displaystyle \det :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} }vor, die wohl nur aus historischen Gründen noch heute als ein Produkt bezeichnet wird. Anschaulich misst das Spatprodukt das Volumen eines Spates im Raum.
Sind f: U → V und g: V → W zwei lineare Abbildungen, so ist ihre Hintereinanderausführung
g∘f:U∋u↦g(f(u))∈W{\displaystyle g\circ f:U\ni u\mapsto g(f(u))\in W}linear. Bezeichnet man die Menge aller linearen Abbildungen von U nach V mit Hom(U,V){\displaystyle \operatorname {Hom} (U,V)}
Im Spezialfall U = V = W erhält man so den sogenannten Endomorphismenring End(V)=Hom(V,V){\displaystyle \operatorname {End} (V)=\operatorname {Hom} (V,V)}
Gegeben seien zwei Matrizen A=(ai,j)i=1…s;j=1…r∈Rs×r{\displaystyle A=(a_{i,j})_{i=1\ldots s;j=1\ldots r}\in \mathbb {R} ^{s\times r}}
bilden. Im Spezialfall r = s = t quadratischer Matrizen entsteht hierdurch der Matrizenring Rr×r{\displaystyle \mathbb {R} ^{r\times r}}
Zwischen der Komposition linearer Abbildungen und dem Produkt zweier Matrizen besteht ein enger Zusammenhang. Seien dazu r = dim(U), s = dim(V) und t = dim(W) die (endlichen) Dimensionen der beteiligten Vektorräume U, V und W. Seien ferner U={u1,…ur}{\displaystyle {\mathcal {U}}=\{u_{1},\ldots u_{r}\}}
die darstellende Matrix von g∘f:U→W{\displaystyle g\circ f:U\rightarrow W}
Mit anderen Worten: das Matrizenprodukt liefert die koordinatenabhängige Beschreibung der Komposition zweier linearer Abbildungen.
Das Tensorprodukt V⊗W{\displaystyle V\otimes W}
sozusagen die „Mutter aller auf V und W definierbaren Produkte“. Jedes andere reell-bilineare Produkt
B:V×W→Y{\displaystyle B:V\times W\rightarrow Y}mit Werten in irgendeinem Vektorraum Y kommt nämlich durch Nachschalten einer eindeutig bestimmten linearen Abbildung
B~:V⊗W→Y{\displaystyle {\tilde {B}}:V\otimes W\rightarrow Y}zustande.
Der Vektorraum Hom(V,W) aller linearen Abbildungen zwischen zwei Vektorräumen V und W lässt sich auf (bifunktoriell) natürliche Weise als Tensorprodukt des Dualraums V* von V mit W auffassen:
V∗⊗W→Hom(V,W){\displaystyle V^{*}\otimes W\rightarrow \operatorname {Hom} (V,W)}Hierbei wird einem zerlegbaren Tensor f⊗w∈V∗⊗W{\displaystyle f\otimes w\in V^{*}\otimes W\,}
zugeordnet. Lässt sich so jede lineare Abbildung von V nach W erhalten? Nein, ebenso ist aber auch nicht jeder Tensor zerlegbar. Wie jeder Tensor sich als Summe zerlegbarer Tensoren schreiben lässt, so lässt sich auch jede lineare Abbildung von V nach W als Summe von Abbildungen wie dem oben definierten g erhalten.
Dass Hom(V,W) in natürlicher Weise zum Tensorprodukt des Dualraums von V mit W isomorph ist, bedeutet gleichzeitig, dass es sich bei der darstellenden Matrix einer linearen Abbildung g: V → W um einen einfach kontravarianten und einfach kovarianten Tensor handelt. Dies drückt sich auch im Transformationsverhalten von darstellenden Matrizen bei einem Basiswechsel aus.
Das kartesische Produkt M × N zweier Mengen M und N fügt sich auf den ersten Blick nicht zwanglos in den hier vorgestellten Produktbegriff ein. Dennoch besteht nicht nur im Wort „Produkt“ eine Verbindung: Das Produkt zweier natürlicher Zahlen m und n wurde weiter oben als die Kardinalität des kartesischen Produkt einer m-elementigen mit einer n-elementigen Menge erklärt. Weiterhin gelten bestimmte Formen des Distributivgesetzes.
Das kartesische Produkt ist gleichzeitig das kategorielle Produkt in der Kategorie der Mengen.
Die Fakultät einer natürlichen Zahl n (geschrieben als n!) beschreibt die Anzahl der möglichen Anordnungen von n unterscheidbaren Objekten in einer Reihe:
n!=1⋅2⋅…⋅(n−1)⋅n=∏i=1ni{\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot \ldots \cdot (n-1)\cdot n=\prod _{i=1}^{n}i}Das Produktzeichen ∏{\displaystyle \textstyle \prod }
Da das Produkt natürlicher Zahlen kommutativ ist, kann man auch eine Indexmenge verwenden (und damit die Reihenfolge der Faktoren unbestimmt lassen)
n!=∏i∈{1,…,n}i{\displaystyle n!=\prod _{i\in \{1,\ldots ,n\}}i}Hier eine Animation zur Produktschreibweise:
Das leere Produkt hat den Wert Eins (das neutrale Element der Multiplikation) – ebenso wie die leere Summe stets Null (das neutrale Element der Addition) ergibt.
John Wallis entdeckte 1655 die verblüffende Tatsache, dass
π2=∏i=1∞(2i)(2i)(2i−1)(2i+1){\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\prod _{i=1}^{\infty }{\frac {(2i)(2i)}{(2i-1)(2i+1)}}}gilt (vergleiche Wallissches Produkt). Was genau ist aber unter dem unendlichen Produkt auf der rechten Seite zu verstehen? Man betrachtet dazu die Folge der endlichen Teilprodukte
Pn:=∏i=1n(2i)(2i)(2i−1)(2i+1){\displaystyle P_{n}:=\prod _{i=1}^{n}{\frac {(2i)(2i)}{(2i-1)(2i+1)}}}Falls diese Folge gegen eine reelle Zahl P konvergiert, so definiert man
∏i=1∞(2i)(2i)(2i−1)(2i+1):=P{\displaystyle \prod _{i=1}^{\infty }{\frac {(2i)(2i)}{(2i-1)(2i+1)}}\;:=P}Genauer sei (an)n∈N{\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
heißt genau dann konvergent, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
- Fast alle an{\displaystyle a_{n}}sind von Null verschieden, d. h., es gibt ein n0∈N{\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }, so dass an≠0{\displaystyle a_{n}\neq 0}für alle n>n0{\displaystyle n>n_{0}}gilt,
- der Grenzwert limN→∞∏n=n0+1Nan{\displaystyle \lim _{N\to \infty }\prod _{n=n_{0}+1}^{N}a_{n}}existiert und
- dieser Grenzwert ist von Null verschieden.
(Die Gültigkeit der letzten beiden Bedingungen ist unabhängig davon, welches n0{\displaystyle n_{0}}
Dieser Grenzwert existiert, denn entweder ist mindestens ein Faktor an=0{\displaystyle a_{n}=0}
Kernreihenkriterium (Konvergenzkriterium für unendliche Produkte): Folgende Aussagen sind äquivalent:
- Ein unendliches Produkt P=∏k=1∞ak=∏k=1∞(1+hk){\displaystyle \textstyle P=\prod \limits _{k=1}^{\infty }a_{k}=\prod \limits _{k=1}^{\infty }(1+h_{k})}mit positiven Kernen hk{\displaystyle h_{k}}konvergiert absolut.
- Die Kernreihe S=∑n=1∞hn{\displaystyle \textstyle S=\sum \limits _{n=1}^{\infty }h_{n}}konvergiert absolut.[4]
Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- Ein konvergentes unendliches Produkt ist genau dann null, wenn einer der Faktoren null ist. Ohne die dritte Bedingung wäre diese Aussage falsch.
- Die Faktoren eines konvergenten Produktes konvergieren gegen 1 (notwendiges Kriterium).
Beispiele zu fehlender Konvergenz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Obwohl die Folge der Teilprodukte (gegen Null) konvergiert, werden unendliche Produkte wie die folgenden nicht als konvergent bezeichnet: