Was bedeuten 2 betragsstriche

Das benutzt man allgemein um eine Norm zu kennzeichnen. Eine Norm ist eine Abbildung die ein abstraktes Verständnis von Länge auf einem Raum mit sich bringt. Es gibt viele verschiedene Normen (vgl Wikipedia) auf den unterschiedlichsten Räumen. Man kann auch auf Funktionenräumen Normen definieren und so Funktionen mit einer Art Länge versehen und Funktionen hinsichtlich dieser Länge vergleichen

In der Regel bezeichnen 2 Betragsstriche jedoch die euklidische Norm

Beantwortet 26 Nov 2014 von LC 1,7 k

Green Mamba

Gast

  • #1

Hallo,

ich bin hier in einem Paper auf mathematische Schreibweisen gestoßen, wie sie im Anhang dargestellt sind. Zum einen muss ich in Erfahrung bringen was der Betrags-Striche (die senkrechten Eingrenzungen der Matrix) bei der Matrizen-Darstellung zu bedeuten hat. Dabei kann man davon ausgehen dass jedes Element der Matrix eine normale Zahl ist. Es sind jeweils Verktor-Komponenten, aber das spielt eigentlich keine Rolle.

Zum anderen sind im zweiten Anhang um die Kreuzprodukte solche doppelten Betrags-Striche. Was haben diese zu bedeuten? Ist damit nur die Länge des Vektors gemeint, der sich zwischen den doppelten Strichen befindet, oder was sonst? Wird für die Vektorlänge normalerweise nicht einfach nur ein einzelner Betrag benutzt?
Ach ja, innerhalb der doppelten Betrags-Striche steht eigentlich nur ein Vektor. Vielleicht hilft das ja!?

Vielen Dank schonmal!

Schönen Gruß
Green Mamba

  • Was bedeuten 2 betragsstriche

    matrix.jpg

    36 KB · Aufrufe: 1.161

  • Was bedeuten 2 betragsstriche

    doppelter betrag.jpg

    19,8 KB · Aufrufe: 1.046

Was bedeuten 2 betragsstriche

  • #2

Das erste sieht für mich nach einer Determinante aus, zumindest schreibt man das so.

Beim zweiten würde ich auch wieder darauf tippen: wenn es sich bei a um eine Matrix handelt, dann bedeuten die inneren Betragsstriche die Determinante davon. Weil eine Determinante aber auch negatv werden kann, werden da nochmals Betragsstriche drumgesetzt.
Weil a wie Du sagst, nur ein Vektor ist, würde das die Schreibweise natürlich vereinfachen, aber allgemeiner ist das so.

Gruß
Morgoth

Was bedeuten 2 betragsstriche

  • #3

Mit den Doppel-Betragsstrichen (also das zweite Bild von dir) ist die Norm des Vektors gemeint. In der Regel die Standard-Norm: Wurzel(<Vektorx,Vektorx>). Oder anders geschrieben: Wurzel(x1²+x2²+x3²+...+xn²).

Zuletzt bearbeitet: 21. Juni 2004

Green Mamba

Gast

  • #4

Ah, da kommen wir der Sache schon näher!
Hmm...
Wenn in der Matrix jetzt 4 Vektoren beinhaltet sind, v, v0, v1, v2, die alle zusammen einen Tetraeder bilden (Ortsvektoren), was sagt dann die Determinante aus? Ok, das ist jetz vielleicht ein bisschen viel verlangt, ich werd mal ein bisschen drüber grübeln, aber natürlich bin ich weiterhin für Tipps aller Art offen!

Was bedeuten 2 betragsstriche

//Edit
Danke Tommy, das macht in dem Kontext sogar Sinn glaub ich, muss das aber mal noch nachprüfen. Hört sich auf jeden Fall verdächtig richtig an!

Was bedeuten 2 betragsstriche

Zuletzt bearbeitet: 21. Juni 2004

Was bedeuten 2 betragsstriche

  • #5

Ist die Determinante null so
- ist das Volumen des von den Vektoren aufgespannten Parallelepipeds null
- sind die Spaltenvektoren der Matrix linear abhängig
- ist der Rang der Matrix nicht maximal
- Es muss also eine Vektorenhülle des Kerns geben

In Sachen Eigenwerte und Eigenvektoren möchte ich mich erst mal nicht aus dem Fenster lernen. Ein Eigenwert müsste null sein.

Bei dir steht aber ein Summenzeichen davor. Das ändert sie Sache natürlich etwas. Meine Aussagen beziehen sich auf die Determinante einer Matrix allgemein.

Green Mamba

Gast

  • #6

Das Summenzeichen sagt nur aus, dass einen Summe über alle Tetraeder gebildet wird, ist also erst mal periphär. Ok, eine Null dürfte dann als Determinante niemals rauskommen, weil die Vektoren niemals linear abhängig sein können. Das geht aus dem Kontext hervor. Wichtiger wäre also ein Bezug zur größe der Determinante.

PS: Was bitte ist ein "Parallelepipeds"?

PPS: Tommy, bist ja richtig fit in Geometrie und Mathe! Hätt ich nicht erwartet!

Was bedeuten 2 betragsstriche

//Edit
Ich habe jetzt die Bedeutung des Parallelepipeds herausgefunden, allerdings nur für 3 Vektoren die den Körper aufspannen. wie ist das dann mit vier?

Was bedeuten 2 betragsstriche

Zuletzt bearbeitet: 21. Juni 2004

Was bedeuten 2 betragsstriche

  • #7

Klar bin ich da drin fit. Hab ja erst letztes Semster Klausur in Algebra geschrieben. Ein Parallelepiped ist im Zwei-Dimensionalen z.b ein Parallelogramm, im 3-Dimensionalen entsprechend ein Körper mit Tiefe (müsste sich Spat schimpfen) und so weiter.

Weitere Mathe-Fragen sind selbstverständlich willkommen.

Was bedeuten 2 betragsstriche

Green Mamba

Gast

  • #8

Aber klar, doch, habe noch so einige!

Was bedeuten 2 betragsstriche

Ich hoffe die Klausur ist gut geworden!
Was bedeuten 2 betragsstriche

Ok, dann kann man sich einen vierdimensionalen Parallelepid glaub ich nicht so einfach geometrisch vorstellen (Habe mal versucht das zu zeichnen, das poste ich lieber nicht!

Was bedeuten 2 betragsstriche
)
Aber ich denke aus dem Kontext heraus müsste es dann eigentlich so sein, dass die Determinante geteilt durch 6 dann das Volumen des Tetraeders beschreibt, der durch die 4 Orts-Vektoren beschrieben wird. (Hoffe ich mal zumindest)

Dann will ich gleich mal weiterfragen, das Kreuzprodukt zweier Vektoren stellt ja die Normale dar, die zu den beiden Vektoren passt. Aber wie lang ist der damit berechnete Normalen-Vektor? Wie steht das Verhältnis der Länge erzeugten Normalenvektors zu denen der einzelnen Vektoren? Oder hat die Länge gar was mit der durch die beiden Vektoren aufgespannten Flächeinhaltes zu tun?

PS: Hast du mal was von der fiesen Hesse-Matrix gehört? Die hat wohl irgendwas mit der konvexität von Oberflächen zu tun...

Zuletzt bearbeitet: 21. Juni 2004

  • #9

Zum Ersteren:

Die Einsen sind nur Schmuckwerk (keine wirkliche Dimension), das 1/6 kann gleich weg. Wenn eine Determinante 0 ist, heißt das, daß v0, v1, v2 zum Zeitpunkt t(i) parallel zu v gerichtet (linear abhängig) sind.
Jetzt soll aber die Summe von vielen Determinanten Null sein...grübel...kann mir dann nur vorstellen, da ja v unabhängig von t(i) ist, dass sich v0,v1,v2 in ihrer "Summe" in Richtung v kompensieren.
Also: v geht direkt in den Schuhladen, v0,v1,v2 zusammen nach diversen Umwegen auch

Was bedeuten 2 betragsstriche
.

---

Zum Zweiten:

Das wird wohl der Betrag(Länge des Vektors) sein.

---

PS: 4-dimensionale Vorstellungen sind ähhh schwierig

Was bedeuten 2 betragsstriche
. Ein Volumen mit 4 Ortsvektoren gibt es nicht, es hat genau 3
Was bedeuten 2 betragsstriche
.

Green Mamba

Gast

  • #10

Naja, vielleicht hab ich mich mißverständlich ausgedrückt, die 4 Vektoren die in der Matrix stehen, beschreiben ja 4 Punkte im Raum. Verbindet man nun diese Punkte, so erhält man einen Tetraeder. Und um dessen Volumen geht es hier!

Was bedeuten 2 betragsstriche

ist es möglich dass die Determinante das sechsfache des Volumens dieses Tetraeders beschreibt?

  • #11

Nein, der (4-dimensionale) Raum, den der Betrag der Determinante beschreiben würde, wäre jener, welcher von folgenden Vektoren aufgespannt würde:

1. vx, vy, vz, 1
2. v0x, v0y, v0z, 1
3. v1x, v1y, v1z, 1
4. v2x, v2y, v1z, 1

Ergo ein 4-dimensionaler Parallelepiped, kein Tetraeder oder irgendein anderer, minderwertiger, weil 3-dimensionaler Körper.

Ergo: höre auf, dir das vorzustellen

Was bedeuten 2 betragsstriche
.

Eine Determinante wäre: vx*v0y*v1z*1+v0x*v1y*v2z*1+v1x*v2y*vz*1+v2x*vy*v0z*1 -1*v0z*v1y*v2x-1*v1z*v2y*vx-1*v2z*vy*v0x-1*vz*v0y*v1x ...uff, 'hoffe habe mich nicht vertippt/-guckt

Was bedeuten 2 betragsstriche

Green Mamba

Gast

  • #12

Hmm...
Aber irgendeinen Zusammenhang zwischen dem durch die Determinante beschriebenen Volumen und dem Volumen des Tetraeder muss es geben, sonst fällt hier gleich mein ganzen Weltbild zusammen!

Was bedeuten 2 betragsstriche

  • #13

Was für ein Tetraeder? Es gibt hier keins. v0,v1,v2 könnten ein "Span" aufspannen. Wenn dann v0,v1,v2 gleich lang wären, du diesen Span dann geeignet halbieren würdest, hättest du glaub' ich ein Tetraeder

Was bedeuten 2 betragsstriche
freak2.

EDIT: hey, der olle Smilie ist ja "f_reak2" statt ":f_reak2"

Was bedeuten 2 betragsstriche

EDIT2: das mit dem Span halbieren vergesse mal wieder...finde vor lauter Schreck nicht mal eine Abbildung eines Spans =)

Zuletzt bearbeitet: 21. Juni 2004

Green Mamba

Gast

  • #14

Also nochmal langsam, es gibt in der Matrix oben im Anhang 4 Vektoren, v, v0, v1, v2. Diese werden als Punkte im Raum interprettiert. Drei der Punkte stellen ein Dreieck dar, wenn sie verbunden werden.
Soweit ja noch ganz einfach. Kommt jetzt der 4. Punkt, und werden die 3 anderen mit diesem jeweils verbunden, haben wir ... richtig, einen Tetraeder. Und um dessen Volumen gehts mir.

Was bedeuten 2 betragsstriche

Ich hoffe ich konnte mich verständlicher ausdrücken!

Green Mamba

Gast

  • #16

Ok, das ist ganz einfach, betrachte nur die Pfeilspitzen und vergiss den Pfeil im ganzen, dann sind es Punkte im Raum.

Was bedeuten 2 betragsstriche

Es ist alles nur eine interprettationssache.
Was bedeuten 2 betragsstriche

  • #17

Das ist das schöne an Mathematik: es ist kein Interpretationssache, sondern Definitionssache!

http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/aussage/aussage71/

Ein Vektor ist bestenfalls die Strecke zwischen zwei Punkten, wenn du schon olle Punkte willst

Was bedeuten 2 betragsstriche
. Menschen sagen auch Pfeil
Was bedeuten 2 betragsstriche
.

---

Mal anders gefragt: Wenn ein Vektor ein Punkt wäre, wie könnte man dann die Länge/Betrag bestimmen?

---

Ohne jetzt mit Vektordefinitionen spammen zu wollen

Was bedeuten 2 betragsstriche
:

http://www.net-lexikon.de/Vektor-Mathematik.html
http://matheboard.de/lexikon/index.php/Vektor_(Mathematik)
(...)

Zuletzt bearbeitet: 21. Juni 2004

Green Mamba

Gast

  • #18

Ok, das ist eigentlich jetzt völlig irrelevant für mein Problem. Aber es gibt einen Unterschied zwischen Ortsvektor und Richtungsvektor. In meinem Fall sind es Ortsvektoren, und sollen als 3D-Koordinaten aufgefasst werden.
Ich möchte ja nur einen Beleg für meine Annahme des Zusammenhangs zwischen Tetraeder-Volumen und der Determinante.

Was bedeuten 2 betragsstriche

PS: Das ganze Problem stellt sich für mich nicht als Mathematiker, sonder aus der Computergraphik heraus. Daher vielleicht auch mein mangelndes Bewusstsein für Definitionen.

Was bedeuten 2 betragsstriche

Es ist eine frage mit praktischem Hintergrund.

  • #19

Den praktischen Hintergrund kenne ich ja leider nicht.

ABER: Die Determinante beschreibt den Spat(-volumen), kein Tetraeder o.ä.! Also muß ich deine Annahme widerlegen. Was die erste Gleichung beschreiben

könnte

, habe ich ja schon getippelt.

Green Mamba

Gast

  • #20

Naja, aber es handelt sich ja auch nur um den 6. Teil des durch die Determinante beschriebenen Volumens, vielleicht passt das ja!?
Hat denn sonst niemannd eine Erklärung dafür? Vom Kontext her muss es eigentlich so sein.

Was bedeuten 2 betragsstriche

Was sagen Betragsstriche aus?

Der Betrag einer Zahl gibt an, wie weit diese Zahl von der 0 entfernt ist. Daher erhält man den Betrag einer Zahl durch weglassen des Vorzeichens. Der Betrag wird mit zwei Betragsstrichen dargestellt. Dabei handelt es sich um zwei vertikale Striche.

Was ist der Betrag von 3?

3 hat kein Vorzeichen (positive Zahl ). Deshalb ist der Betrag einfach 3.

Warum sind Betragsstriche wichtig?

Die Betragsstriche bedeuten mathematisch nichts anderes als die Aufforderung, bei der Zahl oder dem Term schlicht die Vorzeichen nicht zu berücksichtigen. Der Betrag wird immer dann angewendet, wenn es für ein Ergebnis nicht darauf ankommt, ob dieses positiv oder negativ ist.

Was ist der Betrag der Zahl?

Der Betrag einer Zahl ergibt sich als der Abstand der Zahl auf dem Zahlenstrahl von der Null. Man erhält ihn durch Weglassen des Vorzeichens. Falls eine Zahl positiv ist, ist der Betrag einfach diese Zahl. Falls die Zahl negativ ist, ist der Betrag das negative dieser Zahl.