Sollst du eine Zahl mit einer Klammern multiplizieren, kannst du die Klammern durch Ausmultiplizieren auflösen. Steht vor der Klammer beispielsweise ein Faktor 2, multiplizierst du ihn mit den einzelnen Summanden in der Klammer. Die Ergebnisse addierst du anschließend.
Wenn nur ein Faktor vor einer Klammer steht, in der eine Summe oder Differenz steht, nennt man die Vereinfachung ausmultiplizieren. Dabei wird das Distributivgesetz angewendet.
Beispielaufgabe:
2xy−4x⋅(y+3x−2)\displaystyle 2xy-4x\cdot(y+3x-2)2xy−4x⋅(y+3x−2)===
↓
Multipliziere die Klammer mit dem Faktor −4x-4x−4x. Achte besonders auf das Minus vor dem Faktor!
===2xy−4x⋅y+(−4x)⋅3x−(−4x)⋅2\displaystyle 2xy-4x\cdot y+(-4x)\cdot3x-(-4x)\cdot22xy−4x⋅y+(−4x)⋅3x−(−4x)⋅2===2xy−4xy−12x2+8x\displaystyle 2xy-4xy-12x^2+8x2xy−4xy−12x2+8x↓
Fasse nun die ersten beiden Summanden zusammen.
===−2xy−12x2+8x\displaystyle -2xy-12x^2+8x−2xy−12x2+8xKlammern miteinander multiplizieren
Wenn du zwei Klammern, in denen Summen oder Differenzen stehen, miteinander multiplizieren willst, musst du dies komponentenweise tun. Achte dabei besonders auf Vorzeichen!
Beispielaufgabe:
Vereinfache den Term so weit wie möglich
↓
(2x+y)⋅(3y−7x)\displaystyle (2x+y)\cdot(3y-7x)(2x+y)⋅(3y−7x)===↓
Multipliziere die Klammern komponentenweise, wie oben gezeigt.
===2x⋅3y+2x⋅(−7x)+y⋅3y+y⋅(−7x)\displaystyle 2x\cdot3y+2x\cdot(-7x)+y\cdot3y+y\cdot(-7x)2x⋅3y+2x⋅(−7x)+y⋅3y+y⋅(−7x)↓
Vereinfache nun die einzelnen Summanden, achte dabei auf die Vorzeichen!
===6xy−14x2+3y2−7xy\displaystyle 6xy-14x^2+3y^2-7xy6xy−14x2+3y2−7xy↓
Sortiere den Term, so dass gleiche Variablen nebeneinander stehen.
===6xy−7xy−14x2+3y2\displaystyle 6xy-7xy-14x^2+3y^26xy−7xy−14x2+3y2↓
Vereinfache den Term nun so weit wie möglich.
===−xy−14x2+3y2\displaystyle -xy-14x^2+3y^2−xy−14x2+3y2Klammern Setzen
DefinitionAusklammernAusklammern bezeichnet die Umkehrung des Ausmultiplizierens. Durch diese Operation können Terme vereinfacht und organisiert werden.
Du hast also einen Term, bei dem in den einzelnen Summanden gleiche Faktoren vorkommen:
ax+ay= a⋅(x+y)ax+ay=\ a\cdot(x+y)ax+ay= a⋅(x+y)
Hier konntest du den Faktor aaa ausklammern.
Vereinfache den Term
↓
2xy+4x−6x2y\displaystyle 2xy+4x-6x^2y2xy+4x−6x2y===↓
Hier kommt in jedem Summanden der Faktor 2x2x2x vor
===2x⋅y+2x⋅2−2x⋅3xy\displaystyle 2x\cdot y+2x\cdot2-2x\cdot3xy2x⋅y+2x⋅2−2x⋅3xy↓
Diesen Faktor kannst du nun ausklammern
===2x⋅(y+2−3xy)\displaystyle 2x\cdot(y+2-3xy)2x⋅(y+2−3xy)Du kannst auch nur Teile des Terms so zusammenfassen, anschließend muss natürlich Punkt vor Strich beachtet werden!