Wir formulieren zunächst die Idee, den Prozess des Differenzierens "umzukehren". Ist f eine gegebene reelle Funktion, und ist F eine Funktion, deren Ableitung f ist, d.h. für alle x im Definitionsbereich von f, so nennen wir F eine Stammfunktion von f. Beispiel: F(x) = x3 ist eine Stammfunktion von f(x) = 3x2, denn (x3) ' = 3x2.Wie dieses Beispiel zeigt, ist die Stammfunktion nicht eindeutig - eine Funktion kann mehrere Stammfunktionen haben. Tatsächlich folgt aus der Existenz einer Stammfunktion, dass sie mehrere hat, und es gilt: differenzieren Ist F eine Stammfunktion von f, so ist jede Stammfunktion von f von der Form wobei c eine Konstante ist. Wir bezeichnen die Stammfunktion als unbestimmtes Integral und verwenden für sie die Schreibweise (ausgesprochen: "Integral von f(x)" oder "Integral f(x)dx"). Beispiel: Der Zusatz " + c" soll anzeigen, dass die Stammfunktion nur bis auf eine (beliebige) Konstante (die so genannte Integrationskonstante) eindeutig ist. Er wird manchmal der Einfachheit halber weggelassen (sollte aber dann zumindest dazugedacht werden). Der Vorgang, eine Stammfunktion zu einer gegebenen Funktion zu finden, heißt integrieren. (Dieses Wort wird später noch eine zusätzliche Bedeutung erhalten). Der Ausdruck zwischen dem Integralzeichen ò und dem Symbol dx (zu deren Bedeutung wir weiter unten noch etwas sagen werden) heißt Integrand ("zu integrierende Funktion"). Man kann auch sagen, eine Funktion wird nach x integriert, um die Variable, um die es geht, zu benennen. Bisweilen wird auch die (in mancher Hinsicht günstigere) Schreibweise verwendet. Bei ihr kann die Kombination der Symbole òdx als Aufforderung verstanden werden, die darauf folgende Funktion nach x zu integrieren. Wir werden einige Regeln für das Integrieren weiter unten kennen lernen, schicken aber hier die wichtigste Methode voraus: Benutzen Sie alles, was Sie über Ableitungsregeln und über die Ableitungen spezieller Funktionen wissen! Stammfunktionen können oft erraten werden. Steht Ihnen eine Tabelle von Ableitungen wie diese zur Verfügung, so können Sie die einzelnen Zeilen "von rechts nach links" lesen: Ist f die Ableitung von F, so ist F eine Stammfunktion von f. Beispiel: Um eine Stammfunktion von x + 3sin x zu finden, suchen Sie in der Tabelle (oder in Ihrem Gedächtnis) Funktionen, deren Ableitungen mit den einzelnen Summanden (möglicherweise bis auf Vielfache) übereinstimmen. So erinnern Sie sich etwa,Wenn Sie das für ein paar Beispiele dieser Art durchgehen, werden sie selbst Regeln für das Integrieren (und vielleicht auch einige Schwierigkeiten, die es vom Differenzieren unterscheiden) entdecken. Stammfunktionen, die oft benötigt werden, sollten Sie sich auswendig merken, insbesondere:
Ableitung spezieller FunktionenFlächenberechnung (bestimmtes Integral)Zum Seitenanfang Betrachten wir nun Wir führen sogleich eine Rede- und Schreibweise für dieses Konzept ein: Wir bezeichnen den Inhalt der Fläche unter dem Graphen einer Funktion f zwischen den Stellen a und b als bestimmtes Integral und schreiben es in der Form (ausgesprochen: "Integral f(x) in den Grenzen von a bis b" oder "Integral f(x)dx von a bis b", auch "Integral über f(x) von a bis b"). Wie beim oben besprochenen unbestimmten Integral wird f(x) als Integrand bezeichnet, a heißt untere und b heißt obere Integrationsgrenze, und das Intervall [a, b] wird Integrationsbereich (auch Integrationsintervall oder Integrationsgebiet) genannt. Das Symbol für die Integrationsvariable - in (7) wurde x verwendet - kann dabei beliebig gewählt werden. So steht beispielsweise für dieselbe Zahl wie (7). Sie werden sich jetzt vielleicht fragen, wieso für Flächeninhalte eine ähnliche Schreibweise wie für Stammfunktionen verwendet wird. Ihre Frage ist berechtigt und führt auf einen der faszinierendsten Zusammenhänge der modernen Mathematik: Der Hauptsatz Ist f stetig, so ist der Flächeinhalt unter dem Graphen von f eng mit der Stammfunktion von f verwandt. Um das einzusehen, definieren wir eine Funktion A, deren Werte Wir untersuchen nun, wie sich A(x) unter einer kleinen Änderung von x verhält: Ist e sehr klein, so ist dieser Streifen sehr schmal. Da f laut Voraussetzung stetig ist, sind alle Funktionswerte innerhalb des Intervalls [x, x + e] ungefähr gleich groß (und werden einander immer ähnlicher, je kleiner e ist). Der Flächeninhalt des Streifens kann daher durch jenen eines Rechtecks mit Seitenlängen e und f(x) approximiert werden. Auf diese Weise gelangen wir zur Abschätzung stetig * stückweise stetigfür kleines e. Je kleiner e ist, umso genauer gilt diese Näherungsformel. Nun kommt ein kleiner Rechenschritt mit großen Konsequenzen: Wir dividieren beide Seiten durch e und bilden den Grenzwert für e ® 0, A(x + e) - A(x) e = f(x) ,lime ® 0 (9) Grenzwert einer Funktionin dem die in (8) für e ¹ 0 noch vorhandene Ungenauigkeit verschwunden ist. Auf der linken Seite steht nichts anderes als die Ableitung von A(x): Die Ableitung (d.h. die Änderungsrate) der Flächenfunktion ist nichts anderes als die gegebene Funktion f. Mit anderen Worten: Ist f stetig, so ist die Flächenfunktion A eine Stammfunktion von f. Damit sind wir mit einem Schlag in die Lage versetzt, die Inhalte von Flächen, die von Kurven begrenzt werden, berechnen zu können - sofern wir es schaffen, die dazu benötigten Stammfunktionen zu ermitteln: Angenommen, wir kennen eine Stammfunktion F von f. Dann unterscheiden sich A und F gemäß unserer obigen Erkenntnis (2) höchstens durch eine Konstante, so dass A(x) = F(x) + c. Da A(a) = 0 ist, folgt c = -F(a), und die gesuchte Fläche A(b) ist daher gleich A(b) = F(b) + c = F(b) - F(a). Für ihre Berechnung müssen wir lediglich irgendeine Stammfunktion von f kennen und die Differenz ihrer Werte an den Stellen b und a bilden. Für diese Differenz hat sich die Schreibweise bzw. die etwas genauere Form eingebürgert. Mit Hilfe der Bezeichnungsweise (7) können wir unser Resultat über die Flächenberechnung für stetiges f in der Form b |bò f(x) dx = F(x) º F(b) - F(a) aa (12) schreiben, wobei F irgendeine Stammfunktion von f ist. Es ist so bedeutend, dass es den Namen Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung bekommen hat. Genauere
Parabel (in Vorbereitung) Einige Bemerkungen zum bestimmten Integral
Flächeninhalt
stückweise stetig
Damit wissen Sie die wichtigsten Dinge, die nötig sind, um konkrete Flächeninhalte zu berechnen. Betrachten wir zum Abschluss dieses Abschnitts zwei Beispiele, um die konkrete Vorgangsweise bei Flächenberechnungen zu illustrieren: Beispiel 1: Man berechne die Fläche unter dem Graphen der Funktion f(x) = x2 - 1 zwischen den Stellen 1 und 2. infinitesimal Beispiel 2: Man berechne die Fläche unter dem Graphen der Funktion f(x) = 1/x zwischen den Stellen 1 und s > 0.Der Rest dieses Kapitels dient der näheren Besprechung der Vorgangsweise beim Integrieren, der Zusammenstellung von Rechenregeln und der Vertiefung des bisher Gesagten.
Ableitung des Logarithmus frühere Definition des Logarithmus die Eulersche Zahl eZum Seitenanfang Beim Differenzieren haben wir eine Reihe einfacher Rechenregeln kennengelernt, die es erlaubt hat, die Ableitung einer Kombination von Funktionen (wie Produkt, Quotient und Verkettung) auf jene ihrer Bestandteile zurückzuführen. Beim Integrieren ist das leider nicht so. In der Integralrechnung besteht keine Garantie, dass ein gestelltes Problem, auch wenn es einfach aussieht, eine einfache Lösung hat. Daher können auch Computerwerkzeuge, auf die wir weiter unten zu sprechen kommen, zwar oft, aber nicht immer helfen. Wir stellen nun einige Integrationsregeln und Methoden zusammen, die beim Auffinden der Stammfunktion und der Auswertung bestimmter Integrale hilfreich sind und geben anschließend ein paar praktische Tipps. 1.) Zusammenhang zwischen bestimmtem und unbestimmtem Integral und Varianten des Hauptsatzes: Ableitungsregeln Ist f eine stetige Funktion, so ist schreiben, die für jede differenzierbare Funktion F gilt. In Worten: Das bestimmte Integral über eine Ableitung ergibt die Differenz der Funktionswerte des Integranden an den Integrationsgrenzen. Sowohl (16) als auch (17) können als Varianten des Hauptsatzes (12) angesehen werden. Letzte Beziehung stellt in kompakter Form dar, was wir tun müssen, um ein bestimmtes Integral zu berechen: Man finde eine Funktion, deren Ableitung der Integrand ist, und bilde die Differenz ihrer Werte an den Integrationsgrenzen. differenzierbar Zum Verständnis des Integrals und zur Festigung der Intuition über diesen Begriff ist es lehrreich, sich einige Zusammenhänge zwischen den Funktionen f und F zu verdeutlichen. So verschwindet etwa die Ableitung von F genau an den Nullstellen von f. Wechselt f an einer solchen Nullstelle das Vorzeichen, so besitzt F dort ein lokales Extremum. Das nebenstehende Applet erlaubt es Ihnen, mit der Maus eigene Funktionsverläufe von f hervorzuzaubern, sich davon zu überzeugen, wie sich gewisse Eigenschaften von f in jenen von F widerspiegeln, und mit diesen Zusammenhängen ein bisschen zu experimentieren.2.) Integral eines Vielfachen:Applet Das Integral intuitiv verstehen Ist c eine Konstante und F eine Stammfunktion von f, so ist cF eine Stammfunktion von cf. In Worten: Die Stammfunktion eines Vielfachen ist das Vielfache der Stammfunktion.3.) Integral einer Summe: Ist F eine Stammfunktion von f und G eine Stammfunktion von g, so ist F + G eine Stammfunktion von f + g. In Worten: Die Stammfunktion einer Summe ist die Summe der Stammfunktionen.4.) Integration über angrenzende Intervalle: Wird ein und dieselbe Funktion f über zwei angrenzende Intervalle integriert, so ist die Summe dieser beiden Integrale gleich dem Integral über die Vereinigung der beiden Intervalle:5.) Lineare Transformationen des Arguments: Ist F(x) eine Stammfunktion von f(x), so6.) Partielle Integration: Ist F eine Stammfunktion von f und g differenzierbar, so ist das unbestimmte Integral des Produkts f g durch Produktregel Als Beispiel berechnen wir das unbestimmte Integral des natürlichen Logarithmus. Dazu verwenden wir die Tatsache, dass (ln x)' = 1/x ist und wenden einen genialen Trick an: Der Integrand ln x wird in der Form 1 × ln x geschrieben, und Formel (21) wird mit f(x) = 1 und g(x) = ln x angewandt. Eine Stammfunktion von 1 ist x, womit sich F(x) = x und g'(x) = 1/x ergibt. Simples Einsetzen in (21) liefert Fourierreihen Für bestimmte Integrale nimmt Regel (21) die Form7.) Substitutionsmethode (Variablensubstitution, Variablentransformation): Manchmal ist es günstig, beim Berechnen eines Integrals die Variable als Funktion einer anderen Größe u aufzufassen. Wir schreiben diese Abhängigkeit als x º x(u), verlangen, dass die dadurch definierte Funktion differenzierbar ist und schreiben deren Ableitung als x'(u) oder dx(u)/du. Weiters soll es sich um eine umkehrbare Zuordnung (eine bijektive Funktion) handeln, d.h. es soll auch möglich sein, u durch x auszudrücken, was wir einfach als u º u(x) schreiben. bijektiv
gegeben, wobei auf der rechten Seite nach der Berechnung u durch u(x) zu ersetzen ist. Dadurch entsteht ein neuer Integrand, für den die weitere Berechnung leichter sein kann. Diese Identität stammt von der Kettenregel ab. Für bestimmte Integrale nimmt sie die Form Kettelregel Die Grundstruktur dieser Formel kann man sich leicht merken: Die Regel besteht im Wesentlichen darin, unter dem Integral den Bruch 1 = du/du einzuschieben und den "Quotienten" dx/du als Ableitung, d.h. dx(u)/du, zu interpretieren. Der Rest besteht dann nur darin, u anstelle von x als neue Integrationsvariable aufzufassen und die Grenzen entsprechend anzupassen. Das ist ein schönes Beispiel dafür, wie die Deutung der Symbole dx und du als "Differentiale" die Intuition anspricht.8.) Partialbruchzerlegung: Differential Dabei handelt es sich um eine Methode, den Term einer rationalen Funktion (d.h. des Quotienten zweier Polynome) in einer systematischen Weise so umzuschreiben, dass seine Stammfunktion ermittelt werden kann. Dank der Existenz dieser Methode kann die Integration rationaler Funktionen zuverlässig vom Computer übernommen werden. Wir erläutern sie lediglich anhand eines Beispiels (siehe nebenstehenden Button). Ein Online-Werkzeug, das die Partialbruchzerlegung auf Funktionen Ihrer Wahl anwendet, werden wir weiter unten angeben. Integrale spezieller Funktionen Da es für das Integrieren keine so bequemen Regeln wie für das Differenzieren gibt, sind Integrationstabellen ( = Integraltafeln = Auflistungen von Integralen) in der Regel wesentlich umfangreicher als Ableitungstabellen. Auf eine umfangreiche Liste von Integralen wollen wir - auch angesichts der unten zu besprechenden Computerwerkzeuge - verzichten. Der folgende Button ruft eine ausgewählte Liste von Stammfunktionen und einige bestimmte Integrale auf: Alle angegebenen Stammfunktionen können durch Differenzieren überprüft werden. Unter den bestimmten Integralen finden sich auch uneigentliche (siehe unten), deren Herleitung zum Teil schwieriger ist. Bemerkung: Auch wenn Sie umfangreichere Integrationstabellen als diese (oder elektronische Hilfen, s.u.) verwenden, werden Sie das eine oder andere Integral vermissen. Zwar besitzt jede stetige Funktion eine Stammfunktion. Das bedeutet aber nicht, dass diese in einer einfachen Weise dargestellt werden kann. Von manchen Funktionen läßt sich (im Rahmen einer Theorie, auf die wir nicht eingehen) beweisen, dass ihre Stammfunktionen nicht durch elementare Funktionen (Potenzen, Winkelfunktionen, Exponential- und Logarithmusfunktionen und beliebige Kombinationen dieser mit Hilfe der Grundrechnungsarten) in Form eines "geschlossenen" Ausdrucks angegeben werden können. Solche Funktionen nennt man nicht geschlossen integrierbar. Beispiele dafür sind (sinx)/x, ex2 und e-x2. Wird die Stammfunktion einer solcher Funktion oft benötigt, so erhält sie in der Regel einen eigenen Namen, z.B. Integralsinus für das erste und (Gaußsche) Fehlerfunktion (englisch error function) für das dritte dieser Beispiele. Auch wenn eine Funktion nicht geschlossen integrierbar ist, kann ihr bestimmtes Integral (für ausgewählte Grenzen) durchaus wieder eine "schöne" Darstellung besitzen, vgl. etwa (31) unten. rationale Funktion Praktische Tipps für die Suche nach der Stammfunktion
Praktische Tipps für die Berechnung bestimmter Integrale
mehr über Flächenberechnungen (in Vorbereitung) Zum Seitenanfang Uneigentliche Integrale sind bestimmte Integrale, bei denen entweder (zumindest) eine Integrationsgrenze oder der Integrand unendlich wird. Beide Situationen sind damit verbunden, dass die "Fläche unter dem Graphen" ins Unendliche reicht. Für manche Integranden strebt das bestimmte von Integral a bis b einem wohldefinierten Wert zu, wenn a unter jede Schranke fällt und/oder b über jede Schranke wächst. Für solche Fälle definieren wir ¥bò f(x) dx = lim ò f(x) dx ab ® ¥ a (28) Grenzwert einer Funktion und entsprechende Grenzwerte für -¥ als untere Grenze sowie für das bestimmte Integral von -¥ bis ¥. Wenn ein solcher Grenzwert nicht existiert, nennen wir das Integral divergent, ansonsten konvergent. Beispiel:Ein anderer Typ uneigentlicher Integrale ergibt sich, wenn der Integrationsbereich (wieder im Sinn eines Grenzwerts) bis zu einer Unendlichkeitsstelle des Integranden ausgedehnt werden kann. Beispiel:Diese Beispiele zeigen, welchen der ins Unendliche reichenden Flächenstücken unter den Graphen von x-2 und x-1/2 ein endlicher Inhalt zugeschrieben werden kann. Nehmen wir noch x-1 dazu (für das beide Typen uneigentlicher Integrale divergieren), so ergibt sich folgendes Bild: Die Endlichkeit des Inhalts einer Fläche, die bis ins Unendliche reicht, mag auf den ersten Blick wie ein Widerspruch aussehen, ist es aber nicht: Berechnen Sie etwa den (endlichen) Flächeninhalt unter dem Graphen von x-2 zwischen der Stelle 1 und einem großen (aber endlichen) n, so ist das Resultat 1 - 1/n. Wie weit auch immer Sie hinausgehen, der Flächeninhalt bleibt kleiner als 1, und im Grenzübergang n ® ¥ strebt er gegen 1. Dieser Grenzwert ist genau das uneigentliche Integral (29). Verallgemeinerung: Untersuchen Sie als Übungsaufgabe das entsprechende Verhalten aller Potenzfunktionen x-p mit p > 0, so werden Sie erkennen, dass (außer für p = 1) jede dieser Funktionen ein "endliches" und ein "unendliches" Flächenstück besitzt. Die Situation für p > 1 ähnelt dem im linken, jene für p < 1 dem im rechten der drei obigen Diagramme wiedergegebenen Sachverhalte.Ein uneigentliches Integral, dessen Wert schwieriger zu erhalten ist als die bisher betrachteten, ist dieses: Seinen Beweis heben wir uns für ein späteres Kapitel auf. Es wird in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik benötigt. Der Integrand exp(-x2) stellt die so genannte Normalverteilung dar, sein Graph heißt Gaußsche Glockenkurve. Sehen Sie sich deren Verlauf im Funktions-Plotter an! Ganz allgemein wird eine im Unendlichen verschwindende Funktion der Form exp(Q), wobei Q ein quadratischer Ausdruck (in einer oder mehreren Variablen) ist, als Gauß-Funktion bezeichnet. Ein Integral über eine solche Funktion - wie (31) - heißt Gaußsches Integral. Beweis (in Vorbereitung) Normalverteilung (in Vorbereitung)Weitere Beispiele für uneigentliche Integrale finden Sie unter den bestimmten Integralen unserer Zusammenstellung Wir verzichten auf ihre detaillierte Herleitung. (Übungsaufgabe: Finden Sie aus der Liste die uneigentlichen Integrale heraus!) Bemerkung: Für uneigentliche Integrale gelten der Hauptsatz (12) und die Integrationsregeln, die wir oben besprochen haben, in entsprechend adaptierter Weise. Dabei sollte insbesondere beachtet werden, dass ein Ausdruck wie F(¥) als Grenzwert zu verstehen ist. Mit dem nebenstehenden Button können Sie ein Beispiel für die Anwendung der Substitutionsmethode (obige Regel 7) auf solche Integrale aufrufen. Es handelt sich um ein Gaußsches Integral wie (31), nur dass der Exponent -x2 durch den allgemeineren Ausdruck -ax2 + bx ersetzt wird. Als zusätzliche Technik wird dabei das "Ergänzen auf ein vollständiges Quadrat", das wir in einem früheren Kapitel bei der Lösung quadratischer Gleichungen benutzt haben, verwendet. Ergänzen auf ein vollständiges Quadrat Das Integral als Grenzwert von SummenZum Seitenanfang Das "Flächeninhaltsproblem" für stetige Funktionen haben wir mit Hilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung gelöst: Man suche eine Stammfunktion (die immer existiert) und berechne den (orientierten) Flächeninhalt mittels (12). Was aber ist die allgemeinste Klasse von Funktionen, für die die Idee des (orientierten) "Flächeninhalts unter dem Graphen" einen Sinn macht, und wie ist dieser definiert? Treppenfunktionen numerische Integration (in Vorbereitung) Das Integral
Anwendungen der Integralrechnung (in Vorbereitung) Zum Seitenanfang Da es - im Gegensatz zum Differenzieren - kein Schema gibt, die Stammfunktion einer termdefinierten Funktion auf jene ihrer Bestandteile zu reduzieren, sind auch elektronische Hilfen darauf angewiesen, verschiedene Möglichkeiten durchzuprobieren. Sofern es sich nicht um sehr ausgefallene Funktionen handelt, sind sie darin viel schneller als Menschen, und viel Erfahrung ist in ihre Programmierung eingeflossen. Die meisten Computeralgebra-Systeme (wie Mathematica, Maple, DERIVE, TI-92 und TI-89/Voyage 200) können integrieren. Bedenken Sie bei der Verwendung solcher Programme aber bitte:
(hier antidifferentiation bzw. antiderivative genannt) wobei Sie Funktionsterm und Variablennamen eingeben können, und (definite integral) wobei Sie Funktionterm, Variablenname und die (endlichen) Integrationsgrenzen eingeben können. Falls das Programm den exakten Wert den Integrals findet, wird dieser ausgegeben, in jedem Fall aber auch eine numerische Approximation. Darüber hinaus bietet MathServ weitere Online-Programme, die beim Verstehen des Integrierens und seiner Methoden helfen, an:
Falls es zu Ihren Lernzielen gehört, die Integralrechnung eingehend zu beherrschen, versuchen Sie trotz dieser Hilfen, das "händische" Integrieren ein bisschen zu üben, damit Sie wissen, was diese Programme machen. Näherungsweise numerische Integrationstechniken, bei denen Computer einen entscheidende Rolle spielen, besprechen wir in einem eigenen Kapitel.
numerische Integration (in Vorbereitung) Zum Seitenanfang Die Integralrechnung erlaubt eine Fülle von Anwendungen, insbesondere in der Mathematik, in den Naturwissenschaften und in der Technik. Hier einige der Anwendungen, denen Sie in anderen Kapiteln begegnen werden: |