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Rechenliesel: Hinweise zu den Aufgaben Die AufgabenEine Aufgabe sieht zum Beispiel so aus: Gegeben ist ein gleichseitiges Dreieck ABC mit einer Seitenlänge von 4 cm. Berechne den Umfang und den Flächeninhalt! ABCa = 4 cmb = ac = a
Je nach dem, was gegeben ist, werden folgende Berechnungen geübt:
Ergebnisse sind - falls nötig - auf 2 Stellen nach dem Komma zu runden. Die Berechnungen sind recht einfach. Neben den Grundrechenarten sind bei Anwendung des Satzes des Pythagoras und des Höhensatzes auch Wurzeln zu ziehen, was mit dem Taschenrechner oder Wurzeltabellen in Formelsammlungen oder Mathematikbüchern geht. Die Dreiecke in den Aufgaben werden mit Hilfe des Canvas-Elements gezeichnet, sofern der Browser dieses Element unterstützt. Aktuelle Browser tun das. Die Größenverhältnisse sind annähernd maßstabsgerecht. Hinweis: Trigonometrische Fragestellungen, also nach Winkeln und deren Bestimmung unter Verwendung von Winkelfunktionen spielen bei diesen Aufgaben keine Rolle. Grundwissen zu gleichseitigen DreieckenEin gleichseitiges Dreieck ist ein Dreieck mit drei gleich langen Seiten (a = b = c) und drei gleich großen Winkeln (α = β = γ = 60°). Die Höhe hc halbiert Seite c. Die beiden dadurch entstehenden Dreiecke mit den Seiten hc, a, a/2 und hc, b, a/2 sind rechtwinklig und gleich groß. Für die Höhen auf die Seiten a und b gilt dasselbe. Da in rechtwinkligen Dreiecken der Satz des Pythagoras gilt, kann bei bekannter Seitenlänge eines gleichseitigen Dreiecks die Höhe oder bei bekannter Höhe die Seitenlänge berechnet werden. Das wiederum bedeutet, dass bei gleichseitigen Dreiecken eine gegebene Größe (Seitenlänge oder Höhe) auch ausreicht, um Umfang und Flächeninhalt zu berechnen. Bei rechtwinkligen Dreiecken braucht man mindestens zwei gegebene Größen. Wie das geht, wird im Folgenden im Detail gezeigt. Berechnung der Höhe eines gleichseitigen Dreiecks bei gegebener SeitenlängeHerleitung der Formel Bekanntlich gilt nach dem Satz des Pythagoras a² + b² = c². Für das Dreieck in unserem Fall gilt bei Verwendung von a für alle Seiten daher:
Beispiellösung nach Satz des Pythagoras
Beispiellösung mit Formel speziell für gleichseitige Dreiecke
Berechnung der Seitenlänge eines gleichseitigen Dreiecks bei gegebener HöheHerleitung der Formel Bei der Berechnung der Höhe weiter oben wurde bereits die entsprechende Formel hergeleitet. Sie enthält nur zwei Variablen, nämlich h und a. Nun stellen wir diese Formel nach a um, damit wir bei gegebener Höhe die Seitenlänge berechnen können.
Beispiellösung mit Anwendung der Formel für einen gegebene Höhe von 3,46 cm
Berechnung des Umfangs eines gleichseitigen Dreiecks bei gegebener SeitenlängeHerleitung der Formel Da alle drei Seiten eines gleichseitigen Dreiecks gleich lang sind, berechnet man den Umfang durch Multiplikation: u = 3 · a Beispiellösung für Berechnung des Umfangs bei gegebener Seitenlänge Wir setzen für a 4 cm ein und lösen: Berechnung des Umfangs eines gleichseitigen Dreiecks bei gegebener HöheHerleitung der Formel Sollte nur die Höhe gegeben sein, so ersetzt man a in der Formel durch zwei h geteilt durch Wurzel aus drei (s.o.)
Beispiellösung für Berechnung des Umfangs bei gegebener Höhe Wir verwenden wieder die weiter oben berechnet Höhe von 3,46 cm.
Berechnung der Fläche eines gleichseitigen Dreiecks bei gegebener Seitenlänge und HöheHerleitung der Formel Die allgemeine Formel zur Berechnung des Flächeninhalts von Dreiecken (Grundseite mal Höhe geteilt durch 2) lässt sich natürlich auch auf gleichseitige Dreiecke anwenden. Besonders einfach ist das, wenn Seitenlänge und Höhe bereits bekannt sind.
Beispiellösung für Berechnung der Fläche bei gegebener Seitenlänge und Höhe
Berechnung der Fläche eines gleichseitigen Dreiecks bei gegebener SeitenlängeHerleitung der Formel Die allgemeine Formel zur Berechnung des Flächeninhalts von Dreiecken (Grundseite mal Höhe geteilt durch 2) lässt sich auch auf gleichseitige Dreiecke anwenden, wenn nur die Seitenlänge bekannt ist.
Beispiellösung für Berechnung der Fläche bei gegebener Seitenlänge
Berechnung der Fläche eines gleichseitigen Dreiecks bei gegebener HöheHerleitung der Formel Die allgemeine Formel zur Berechnung des Flächeninhalts von Dreiecken (Grundseite mal Höhe geteilt durch 2) lässt sich natürlich auch auf gleichseitige Dreiecke anwenden, wenn nur die Höhe bekannt ist.
Beispiellösung für Berechnung der Fläche bei gegebener Höhe
Abschließender Hinweis zu den FormelnDie Formeln zu den Berechnungen bei gleichseitigen Dreiecken sind keine besonderen Formeln, sondern Umstellungen des Satzes des Pythagoras, der Formel zur Berechnung des Umfangs (Summe aller Seiten) und der allgemeinen Formel zur Flächenberechnung (Dreiecksfläche gleich Hälfte von Grundseite mal Höhe). Man muss die Formeln nicht unbedingt lernen, sondern kann sie auch immer im Bedarfsfall herleiten. Alle Umformungen beruhen darauf, dass die Seiten gleich lang sind und die Höhe auf eine Seite diese halbiert. Beim Lösen sollte man so lange wie möglich mit den Wurzeln rechnen, um Abweichungen aufgrund von Rundungsfehlern zu vermeiden. Zum Schluss noch ein Hinweis für kluge Köpfe: Auch bei gegebenem Umfang oder gegebener Fläche lassen sich die Höhe und die Seitenlänge ermitteln. Wer möchte, kann die entsprechenden Formeln selbst umstellen. Allerdings geht das nur bei gleichseitigen Dreiecken. Auch sind Aufgaben wie "Berechne die Seitenlänge eines gleichseitigen Dreiecks, das eine Fläche von 15 cm² hat!" recht selten, so richtig schwer sind sie aber nicht. LösungenSollte man sich verrechnet haben, kann man sich die Lösung anschauen. Die Lösung für die Beispielaufgabe sieht so aus:
Welches Dreieck hat 3 gleich lange Seiten?Ein gleichseitiges Dreieck ist ein Dreieck mit drei gleich langen Seiten bzw. Kanten sowie drei gleichen Winkeln von jeweils 60°. Ein gleichseitiges Dreieck wird auch als regelmäßiges Dreieck bezeichnet und zählt zu den regelmäßigen Polygonen.
Kann ein Dreieck 3 gleichlange Seiten haben?Im gleichseitigen Dreieck sind alle drei Seiten gleich lang und außerdem alle drei Winkel gleich groß, nämlich genau 60 Grad. Gleichschenklig rechtwinklige Dreiecke sind deswegen besondere Dreiecke, weil sie, genau wie gleichschenklige Dreiecke auch, zwei gleichlange Seiten haben.
Können alle Seiten eines Dreiecks gleich lang sein?Bei einem gleichseitigen Dreieck sind alle drei Seiten gleich lang und alle drei Innenwinkel gleich groß. Jeder Winkel eines gleichseitigen Dreiecks beträgt 60°.
Hat ein Dreieck mit drei gleich langen Seiten auch drei gleich große Winkel?Ein Dreieck mit drei gleich langen Seiten und drei gleich großen Winkeln heißt gleichseitiges Dreieck. Ein Dreieck, dessen zwei Seiten und zwei Winkel gleich groß sind, heißt gleichschenkliges Dreieck.
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