Parameter sind ein wichtiger Bestandteil von Funktionen. Wie sie sich auf die Funktion auswirken, welche verschiedenen Fälle gibt es dabei und worin unterscheidet sich der Parameter eigentlich von der Variable? Show
Parameter – Definition & Bedeutung Wenn dir Parameter begegnen, sind diese oft bezeichnet mit a1, a2, … oder a, b, c und so weiter. Du kannst sie dir vorstellen wie eine Art Stellschraube, welche die Funktion verschiebt oder in ihrer Form verändert, während sie den typischen Charakter der Funktionsart beibehält. Parameter stehen mit Variablen in Verbindung. Durch sie wird die Funktion auf eine bestimmte Art und Weise transformiert. Parameter besitzen wie die Variablen keinen festen Wert, werden bei Umformungen allerdings so behandelt. a und d sind Parameter in der Funktion
Parameter – GleichungenEs kommt vor, dass du eine Funktion mit Parametern gegeben hast. Möchtest du diese umformen, ableiten usw. ist es wichtig, dass du sie wie eine Zahl behandelst. Du kannst also so tun, als hättest du statt dem Parameter eine Zahl gegeben. So ist z. B. die Ableitung von und nicht
Parameter – Streckung und StauchungWenn du deine Funktionstrecken oder stauchen möchtest, hast du zwei Möglichkeiten dies durch Parameter zu tun. Streckung und Stauchung der Funktion: g(x) = a · f(x)Die Streckung oder Stauchung einer Funktionerreichst du, indem du den Parameter a folgendermaßen auf die Funktionanwendest:
Die transformierte Funktion benennen wir mit Je nachdem, welchen Wert a hat, werden folgende Fälle unterschieden: |x| spricht man "Betrag von x". Der Betrag gibt an, wie weit das x von der Null entfernt ist, sowohl im positiven als auch im negativen Bereich. Sollte dir ein Fall vorliegen, in welchemist, wird die Funktionzusätzlich zur Streckung oder Stauchung auch an der x-Achse gespiegelt. Wir betrachten die Funktion . Möchten wir diese strecken, wählen wir den Parameter a mit |a|>1. Beispielsweise wählen wir. Wir erhalten so die transformierte Funktion.
Abbildung 1: Streckung von f(x) Skalierung von x: g(x) = f(b · x)Die Skalierung von x ist eine zweite Möglichkeit eine Funktionzu strecken oder zu stauchen. Die Skalierung von x deiner Funktionerreichst du, indem du den Parameter b so zu deiner Funktion hinzufügst:
Die Fälle, welche unterschieden werden können, ähneln denen der Stauchung oder Streckung: Die Funktion f, für welche wir x skalieren wollen, ist. Wir fügen den Parameter b so hinzu, dass die Funktion gestaucht wird. Wir wählen also und erhalten die transformierte Funktion.
Abbildung 2: Skalierung von x Parameter – VerschiebungAuch bei der Verschiebung deiner Funktionkönnen zwei Fälle unterschieden werden. Du kannst diese hoch und runter, also in y-Richtung, aber auch nach links und rechts, in x-Richtung, verschieben. Verschiebung in x-Richtung: g(x) = f(x + c)Du kannst deine Funktionnicht nur strecken und stauchen, sondern auch verschieben! Möchtest du deine Funktion auf der x-Achse verschieben, kannst du den Parameter c so in die Funktion einfügen:
Es gilt:
Möchtest du die Funktionum 3 Einheiten auf der x-Achse nach links verschieben, wählst du. Du erhältst die transformierte Funktion.
Abbildung 3: Verschiebung auf der x-Achse von f(x) Verschiebung in y-Richtung: g(x) = f(x) + dAuch die Bewegung entlang der y-Achse ist möglich. Um die Funktionauf der y-Achse zu verschieben, hast du die Möglichkeit den Parameter |d| so zur Funktionzu addieren:
Du unterscheidest zwei Fälle:
Um eine Verschiebung der Funktionum 3 Einheiten nach oben auf der y-Achse zu erreichen, wählst du. Du erhältst die transformierte Funktion.
Abbildung 4: Verschiebung von f(x) auf der y-Achse Parameter verschiedener FunktionenBevor du dich damit beschäftigst, wie sich die verschiedenen Parameter auf die verschiedenen Funktionen auswirken, solltest du dir immer im Klaren sein, wie die Funktion ohne Einwirkung eines Parameters ausschaut. Parameter – Quadratische FunktionDie quadratische Funktion ist dir sicher schon oft begegnet. Jetzt kannst du verstehen, wie diese sich überhaupt zusammensetzt. Die quadratische Funktion hat im Allgemeinen die Form mit und Du kannst die Parameter an ihrer klassischen Bezeichnung mit a, b und c erkennen. Im Fall der quadratischen Funktion wirken sich diese folgendermaßen aus:
Wenn du mehr darüber wissen möchtest, wie du eine Parabel verschieben kannst, lies dir gerne unseren Artikel Quadratische Funktion verändern durch. Parameter – ExponentialfunktionAuch bei der Exponentialfunktion finden Parameter ihre Anwendung. Exponentialfunktionen haben die Form:
mit und . Bei Exponentialfunktionen findet oft die Streckung oder Stauchung Anwendung. Dafür wird ein Parameter b so hinzugefügt: a heißt auch Wachstums- oder Zerfallsfaktor. Wie du oben gelernt hast, hängt es vom Wert von b ab, wie die Funktion sich verändert. Was dir bei der Exponentialfunktion auch häufig begegnet, ist die Skalierung von x.
Natürlich können auch die anderen beiden Transformationen vorkommen oder in Kombination auftreten. Du betrachtest die Exponentialfunktion und wählstund erhältst somit die Funktion Anschauen möchtest du dir die Streckung der Funktionin y-Richtung. Du hast zwei Möglichkeiten diese Streckung umzusetzen.
Im ersten Fall wählst du zur Veranschaulichung, im zweiten Fallund wir erhalten somit die beiden transformierten Funktionen: und
Abbildung 6: Exponentialfunktionen Du erkennst also leicht, dass die Funktiondurch die Skalierung von x mit dem Faktor 2 mehr gestreckt wird als durch die Streckung mit dem Faktor 5. Parameter – SinusfunktionGenau, wie bei den obigen Funktionen besteht auch bei der Sinusfunktion die Möglichkeit diese auf verschiedene Art und Weise zu transformieren. Möchtest du die Sinusfunktion mit Parametern verändern, kannst du auf die allgemeine Form zurückgreifen:
Die Parameter haben hier die Wirkung, wie wir sie oben beschrieben haben.
Du betrachtest die verschieden transformierten Sinusfunktionenund, neben der normalen Sinusfunktion.
Abbildung 7: Sinusfunktion Die Funktion g(x) ist gestaucht mit dem Faktor. Die Funktion h(x) ist um 1 nach rechts auf der x-Achse und um 3 nach oben auf der y-Achse verschoben. Über die Parameter in der Sinusfunktion gibt es übrigens auch einen eigenen Artikel. Diesen findest du im Kapitel zu den trigonometrischen Funktionen. Parameter – ÜbungsaufgabenDamit du überprüfen kannst, ob du die Theorie auch anwenden kannst, hier zwei Übungsaufgaben für dich: Aufgabe 1 Dir ist diese Funktion gegeben:
Füge einen Parameter so hinzu, dass die Funktionauf der x-Achse um 2 Einheiten nach rechts verschoben wird. Lösung Um die Funktionum 2 Einheiten auf der x-Achse nach rechts zu verschieben, wählst du einen Parameterund fügst ihn wie folgt in die Funktionein: Aufgabe 2 Welche Parameter sind in der Funktionzu finden und welche Wirkung haben sie auf die Funktion?
Lösung In der Funktionsind folgende Parameter auszumachen: Parameter - Das WichtigsteWelche Bedeutung haben die Parameter?Als Parameter (griechisch παρά para, deutsch ‚neben' und μέτρον metron ‚Maß'), auch Formvariable, wird in der Mathematik eine Variable bezeichnet, die gemeinsam mit anderen Variablen auftritt, aber von anderer Qualität ist.
Welche Parameter gibt es?Die drei Parameter des einzelnen Tons (und ihre entsprechenden akustischen Größen) sind:. die Tonhöhe (beziehungsweise die Grundfrequenz). die Tondauer (beziehungsweise das Zeitintervall). die Lautstärke (beziehungsweise die Amplitude). Was sind Parameter Werte?Die Parameterwerte bestimmen die Lage und Form der Kurve im Verteilungsdiagramm, und jede eindeutige Kombination von Parameterwerten ergibt eine eindeutige Verteilungskurve. Eine Normalverteilung wird beispielsweise durch zwei Parameter definiert, den Mittelwert und die Standardabweichung.
Wie sagt man Parameter?Worttrennung: Pa·ra·me·ter, Plural: Pa·ra·me·ter. Aussprache: IPA: [paˈʁaːmetɐ]; in Österreich auch: [paˈʁametɐ]
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Was bedeuten die parameter
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