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OberstufeW.11.02 | Absolute und relative HäufigkeitEine absolute Häufigkeit ist eine Anzahl (also eine ganze Zahl wie 0; 1; 2; …). Eine relative Häufigkeit ist eine Prozentzahl (also eine Kommazahl zwischen 0 und 1, bzw in Prozent gerechnet: zwischen 0% und 100%). Eine kumulierte Häufigkeit (egal ob relativ oder absolut) ist eine aufsummierte Häufigkeit, beinhaltet also die Häufigkeiten von allen Werten die kleiner oder gleich sind. Beispiel: 50 Familien werden nach der Anzahl der Kinder befragt. 8Familien haben 0 Kinder, 12 haben 1 Kind, 18 haben 2 Kinder, 7 haben 3 Kinder, 5 haben 4 oder mehr Kinder. Die absolute Häufigkeit der 2-Kind-Familie liegt bei 18. Die relative Häufigkeit der 2-Kind-Familie liegt bei 18/50=0,36=36%. Die kumulierte absolute Häufigkeit der 2-Kind-Familie liegt bei 8+12+18=38. Die kumulierte relative Häufigkeit der 2-Kind-Familie liegt bei (8+12+18)/50=0,76=76%. Rechenbeispiele:W.11.02 | Absolute und relative HäufigkeitNeben einer Definition erfährst Du hier anhand von Beispielen und Aufgaben, wie Du die relative Häufigkeit berechnen kannst, was sie mit der Wahrscheinlichkeit eines Zufallsexperimentes zu tun hat und wie sie sich von der absoluten Häufigkeit unterscheidet.
Relative Häufigkeit – DefinitionDie relative Häufigkeit eines Zufallsereignisses \(X\) beschreibt den Anteil der absoluten Häufigkeit an der Gesamtmenge der Versuche. Hierbei handelt es sich also um eine Zahl, die zwischen \(0\) und \(1\) liegt. \(\definecolor{bl}{RGB}{20, 120, 200}\definecolor{gr}{RGB}{0, 220, 180}\definecolor{r}{RGB}{250, 50, 115}\definecolor{li}{RGB}{131, 99, 226}\definecolor{ge}{RGB}{255, 205, 0}\) Stell Dir vor, Du würfelst bei einem Würfelspiel bei 20 Würfen 4-mal eine Sechs.
Die relative Häufigkeit gibt jetzt an, bei wie viel Prozent Deiner Würfe eine Sechs gewürfelt wurde. Relative Häufigkeit berechnen – FormelDu kannst die relative Häufigkeit eines Zufallsereignisses berechnen, indem Du die absolute Häufigkeit \(\color{gr}H_n\) durch die Gesamtmenge der Versuche \(\color{bl}n\) teilst. \[h_n(X)=\frac{{\color{gr}H_n(X)}}{\color{bl}n}\] Für die Berechnung der relativen Häufigkeit benötigst Du somit immer zunächst die absolute Häufigkeit, also die Anzahl, wie oft ein Ereignis eingetroffen ist. In der Erklärung "Absolute Häufigkeit" findest Du noch weitere Informationen zu dem Thema. Relative Häufigkeit BeispielStell Dir vor, Du hast 20-mal gewürfelt und dabei 4-mal eine Sechs gewürfelt. Für die relative Häufigkeit teilst Du nun die absolute Häufigkeit durch die Gesamtmenge.
\begin{align} h_{\color{bl}n}(X)&=\frac{{\color{gr}H_n(X)}}{\color{bl}n}\\[0.15cm] h_{{\color{bl}20}}(Sechs)&=\frac{{\color{gr}4}}{\color{bl}20} \\[0.15cm] &=0{,}2\end{align} Die relative Häufigkeit, bei 20 Würfen eine Sechs gewürfelt zu haben, beträgt also \(0{,}2\). Relative Häufigkeit in ProzentDa es sich bei der relativen Häufigkeit immer um einen Anteil, also einen relativen Wert handelt, wird sie neben Brüchen und Dezimalzahlen von \(0\) bis \(1 \) auch häufig in Prozent von \(0\,\%\) bis \(100\,\%\) angegeben. Zur Erinnerung: Um eine Dezimalzahl in eine Prozentzahl umzurechnen, musst Du die Dezimalzahl mit 100 multiplizieren. Die relative Häufigkeit \(h_{20}(Sechs)=0{,}2\) kannst Du also in eine Prozentzahl umwandeln, indem Du sie mit 100 multiplizierst, bzw. das Komma um 2 Stellen nach rechts verschiebst. \[0{,}2=20 \,\%\] Bei \(20\) Prozent der Würfe wurde also eine Sechs gewürfelt. Unterschied absolute und relative Häufigkeit
Inwieweit Du absolute Häufigkeiten durch relative Häufigkeiten miteinander vergleichen kannst, erfährst Du im folgenden Beispiel. Stell Dir vor, Du hast 20-mal gewürfelt und dabei 4-maleine Sechs gewürfelt. Dein Freund hat dagegen 6-mal eine Sechs gewürfelt, hat dafür aber ganze 32 Versuche gebraucht. Wer hat jetzt im Verhältnis mehr Sechsen gewürfelt? Um das zu beantworten, vergleichst Du die beiden relativen Häufigkeiten miteinander.
Wie Du sehen kannst, ist Deine relative Häufigkeit größer als die Deines Freundes. Dein Freund hat somit zwar absolut mehr Sechsen gewürfelt (\(\to\)absolute Häufigkeit), aber dennoch hast Du eine bessere Trefferquote (\(\to\) relative Häufigkeit) Relative Häufigkeit – HäufigkeitstabelleUm Häufigkeiten verschiedener Ereignisse übersichtlich darzustellen, werden in der Statistik Häufigkeitstabellen verwendet. In ihnen findest Du jedes mögliche Ereignis im Zufallsexperiment, die absoluten Häufigkeiten zu jedem Ereignis und die daraus resultierenden relativen Häufigkeiten. Im folgenden Beispiel kannst Du eine mögliche Häufigkeitstabelle für das Würfelspiel sehen.
Die einzelnen absoluten Häufigkeiten in einem Zufallsexperiment ergeben zusammen addiert die Gesamtanzahl der Versuche. Hier ergeben sie zusammengerechnet also 20.
Kumulierte relative HäufigkeitEine kumulierte relative Häufigkeit gibt die Summe von mehreren relativen Häufigkeiten zu einem bestimmten Punkt an. Die Summe aller relativen Häufigkeiten muss 1 bzw. 100 % ergeben. Die kumulierte relative Häufigkeit kann ebenfalls anhand des Datensatzes des Würfelbeispiels erklärt werden. Kumulierte relative Häufigkeit berechnen – BeispielUm die kumulierten relativen Häufigkeiten aus dem Datensatz des Würfelbeispiels zu bestimmen, addierst Du die relativen Häufigkeiten der möglichen Ereignisse \(X\) nacheinander auf. Die Summe bei dem letzten Ereignis (hier die Augenzahl 6) muss dabei \(1\) bzw. \(100 \,\%\) ergeben!
Aus den kumulierten relativen Häufigkeiten kannst Du jetzt beispielsweise ableiten, dass Du von \(45\,\%\) Deiner Würfe eine 1, 2 oder 3 gewürfelt hast. Relative Häufigkeit Wahrscheinlichkeit – BeziehungLaut dem Gesetz der großen Zahlen nähert sich die relative Häufigkeit immer mehr der erwarteten Wahrscheinlichkeit eines Zufallsereignisses an, je höher die Gesamtanzahl der Versuche \(n\) ist. Bei einem Würfel, mit 6 gleich großen Seiten, gibt es 6 gleich wahrscheinliche Ereignisse. Die Wahrscheinlichkeit, eine Sechs zu würfeln beträgt somit: \[p(Sechs)=\frac{1}{6}\approx 16{,}7\,\%\] Die relative Häufigkeit, also der Anteil der Würfe, bei denen tatsächlich eine Sechs gewürfelt wurde, entspricht dagegen nicht unbedingt immer der erwarteten Wahrscheinlichkeit.
Bei einer kleinen Gesamtanzahl an Versuchen, wie bei dem Würfelspiel mit \(n=20\), kann also die Abweichung zwischen der relativen Häufigkeit und der erwarteten Wahrscheinlichkeit noch relativ groß sein. Um von der empirisch ermittelten relativen Häufigkeit auf die Wahrscheinlichkeit eines Zufallsereignisses zu schließen, brauchst Du deutlich mehr Versuche. Abb.1 - Relative Häufigkeitsverteilung für die Augenzahl 6 im Verhältnis zur Wahrscheinlichkeit Relative Häufigkeit berechnen – AufgabenMit den folgenden Aufgaben kannst Du nun Dein Wissen über die relative Häufigkeit auf die Probe stellen und weiter vertiefen. Relative Häufigkeit berechnen – Aufgabe 1Stell Dir vor, Du schnappst Dir eine Packung Gummibärchen, öffnest sie und schüttest den Inhalt vor Dir aus. Jetzt sortierst Du die Gummibärchen nach Farben. In einer Packung mit \(100\)Gummibärchen sind folgende absolute Häufigkeiten zu finden:
Bestimme die relativen Häufigkeiten zu den jeweiligen Farben in einer Häufigkeitstabelle. Lösung Stichprobenumfang \(n=100\).
Kumulierte relative Häufigkeit berechnen – Aufgabe 2Dein Freund mag nur die grünen und orangen Gummibärchen. Bestimme mithilfe der kumulierten Häufigkeiten den Anteil der Gummibärchen, den Dein Freund aus der ganzen Tüte mag. Lösung In Aufgabe 1 hast Du bereits die relativen Häufigkeiten zu den verschiedenen Farben der Gummibärchen berechnet. Da Dein Freund nur die grünen und orangen Gummibärchen mag, addierst Du hier die relativen Häufigkeiten der beiden Farben miteinander. \begin{align}h_{100}(\text{orange + grün}) &= h_{100}(\text{orange})+h_{100}(\text{grün})\\&=20\,\% + 24\,\%\\&=44\,\%\end{align} Dein Freund mag somit 44 Prozent der Gummibärchen aus der gesamten Tüte. Relative Häufigkeit – Das Wichtigste
Was ist der Unterschied zwischen absolute und relative?Die absolute Häufigkeit ist eine Anzahl. Damit wird gezählt, wie oft etwas vorkommt. Die relative Häufigkeit ist der Anteil an einer Gesamtzahl.
Wie erklärt man die relative Häufigkeit?Während die absolute Häufigkeit angibt, wie oft ein bestimmtes Ereignis eintritt (Anzahl), beschreibt die relative Häufigkeit, wie groß der Anteil der absoluten Häufigkeit an der Gesamtzahl der Versuche ist.
Was versteht man unter der absoluten Häufigkeit?Die absolute Häufigkeit gibt an, wie oft ein bestimmtes Ereignis bei mehrmaliger Wiederholung eines Zufallsexperiments eintritt. Als Anzahl ist sie immer eine natürliche Zahl zwischen 0 und der Gesamtzahl von Versuchen.
Was ist die relative Häufigkeit Beispiel?Beispiel relative Häufigkeit
Um dies beurteilen zu können, gibt es noch die relative Häufigkeit. Damit gibt man den Anteil am Ganzen an. Beim Würfeln der Zahl 4 aus dem Beispiel wären dies 8 Würfe von 30 Würfe als relative Häufigkeit.
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Was ist der Unterschied zwischen relativen und absoluten Häufigkeiten?
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