Welche ableitung hat welche bedeutung

Q: Was sagt die erste und zweite Ableitung?

◦ Die erste Ableitung f(x) sagt etwas über die Steigung der ursprünglichen Funktion f(x). ◦ Die zweite Ableitung f(x) sagt etwas über die Krümmung der ursprünglichen Funktion f(x).

f'(x)

Definition

Die erste Ableitung hat zwei unterschiedliche - aber zueinander passende - Bedeutungen. Es ist einmal die Ableitungsfunktion. So hat f(x)=x² die erste Ableitung f'(x)=2x. Zum anderen ist die erste Ableitung auch der Zahlenwert der Steigung für einen Punkt eines Graphen. Beide Bedeutungen werden hier gemeinsam vorgestellt.

Formale Definition

◦ Eine Funktion f(x) einmal ableiten gibt die erste Ableitung.
◦ Die erste Ableitung selbst ist wieder eine Funktion.
◦ Beispiel: f(x)=x² gibt abgeleitet f'(x)=2x
◦ Diese Funktion f'(x) heißt erste Ableitung.

Schreibweisen

◦ Es gibt verschiedene Schreibweisen.
◦ Üblich ist f'(x), sprich: f-strich von x.
◦ Seltener ist dy/dx, sprich: delta-y durch delta-x

Deutung als Steigung

◦ Setzt man in f'(x) einen x-Wert ein,
◦ dann sagt der y-Wert von f'(x),
◦ welche Steigung f(x) dort hat.
◦ Beispiel: f(x) = x²
◦ Ableiten: f'(x) = 2x
◦ Für x die Zahl 3 einsetzen: f'(x) = 2·3 = 6
◦ Also ist die Steigung am Punkt mit dem x-Wert die Zahl 6.
◦ Auch diese Zahl 6 nennt man die erste Ableitung.
◦ Mehr unter => Steigung in einem Punkt

Deutung als Änderungsverhältnis

◦ Dies ist die elemenatarste Deutung der 1. Ableitung:
◦ Setzt man in f'(x) für x eine konkrete Zahl ein, ...
◦ dann erhält man auch für f'(x) eine konkrete Zahl.
◦ Beispiel: Man f'(x) = 2x. Man setzt für x die 3 ein.
◦ Das ergibt dann für f'(x) die Zahl 6.
◦ Was bedeutet diese Zahl 6 an der Stelle x=3?
◦ Das meint: Verändert man in der Nähe von x=3 ...
◦ den x-Wert geringfügig, dann ändert sich der ...
◦ dazugehörige y-Wert (also f(x)) ungefähr 6mal so stark.
◦ Mehr dazu unter => Erste Ableitung als Änderungsverhältnis

Deutung als Änderungsrate

◦ Änderungsrate ist ein Änderungsverhältnis mit x als Zeitmaß.
◦ Auf der x-Achse ist also die Zeit aufgetragen, auf der y-Achse etwas Beliebiges.
◦ Die erste Ableitung sagt dann, wie viel mal so stark sich der y-Wert ändert ...
◦ wie der Zeitwert. Anders gesagt: das Verhältnis von y-Änderung zur Zeit-Änderung.
◦ Mehr dazu unter => Änderungsrate

Deutung im Sachzusammenhang

◦ Die Ableitung des Ortes (y) als Funktion der Zeit (x) ist die Geschwindigkeit.
◦ Oft hat die erste Ableitung eine sehr konkrete Bedeutung.
◦ Mehr dazu unter => Erste Ableitung im Sachzusammenhang

Zahlenbeispiel

◦ f(x)=x² abgeleitet gibt f'(x)=2.
◦ Setzt man z. B. x=3 in f'(x) ein, ...
◦ dann ist der y-Wert von f'(3) genau 6.
◦ Dann hat f(x) an der Stelle x=3 die Steigung 6.

Monotonie

◦ Wo f'(x) größer ist als 0, ist f(x) => streng monoton steigend
◦ Wo f'(x) kleiner ist als 0, ist f(x) => streng monoton fallend
◦ Wo f'(x) 0 oder größer ist, ist f(x) => monoton steigend
◦ Wo f'(x) 0 oder kleiner ist, ist f(x) => monoton fallend

Nullstellen der ersten Ableitung

◦ Dort wo die erste Ableitung f'(x) eine Nullstelle hat, gibt es für f(x) mehrere Möglichkeiten:
◦ Dort kann sein ein => Hochpunkt
◦ Dort kann sein ein => Tiefpunkt
◦ Dort kann sein ein => Sattelpunkt
◦ Dort kann sei eine => Konstante Funktion

Besondere Punkte

◦ Wert der ersten Ableitung => Steigung in einem Punkt
◦ Erste Ableitung ist Null, möglicher => Hochpunkt
◦ Erste Ableitung ist Null, möglicher => Tiefpunkt
◦ Erste Ableitung ist Null, möglicher => Sattelpunkt

Inhaltsverzeichnis Show

Formale Definition
Schreibweisen
Deutung als Steigung
Deutung als Änderungsverhältnis
Deutung als Änderungsrate
Deutung im Sachzusammenhang
Zahlenbeispiel
Nullstellen der ersten Ableitung
Besondere Punkte
Ableitung – die beliebtesten Themen
Wozu ist die Ableitung aber gut? Braucht man sie irgendwann?
Wo begnet uns die Ableitung im Alltag?
Beispiel für die Verwendung der Ableitung
Allgemeine Bedeutungen der Ableitung
Was hat die zweite Ableitung für eine Bedeutung?
Was sagt uns die 3 Ableitung?
Was sagt die erste und zweite Ableitung?
Was bedeutet f '( 0 )= 0?

Eine Ableitung ist der Grenzwert des Differenzenquotienten einer Funktion. Das bedeutet, dass man sich für jeden x-Wert einer Funkion anschaut, ob der y-Wert des vorherigen und des folgenden x-Werts größer, kleiner oder gleich des y-Wertes des untersuchten x-Wertes ist. Das klingt jetzt alles sehr kompliziert, aber kurz gesagt bedeutet das nur, dass man sich anschaut, welche Steigung eine Funktion an der Stelle \(x\) hat.

Damit man das auch bei Funktionen, die ein etwas kompliziertes Steigungsverhalten haben, gut ausdrücken kann, gibt es die Ableitungsfunktionen. Das ist eine Funktion, die das Steigungsverhalten der untersuchten Funktion in jedem Punkt beschreibt. Für die Funktion \(f(x)\) lautet die Ableitungsfunktion \(f'(x)\). Ausgesprochen wird das als „\(f\) Strich von \(x\)“.

Diese Lernwege helfen dir, alles Wissenswerte zu Ableitungen und Ableitungsfunktionen zu verstehen. Abschließend kannst du dein Wissen in den Klassenarbeiten testen.

Ableitung – die beliebtesten Themen

Die Ableitung, genauer gesagt die Tangentensteigungsfunktion, ist für die Oberstufe unglaublich wichtig. Je besser verstanden wird, was die Ableitung ist und wie sie berechnet wird, um so leichter werden uns später die Aufgaben dazu fallen. Daher werden in diesem Kapitel die Ableitung und die Ableitungsregeln ausführlich erklärt.

Wozu ist die Ableitung aber gut? Braucht man sie irgendwann?

Innermathematisch braucht man die Ableitung um Steigungen, Steigungswinkel, Extrempunkte oder Wendepunkte von Funktionen bzw. Graphen zu berechnen.

Wo begnet uns die Ableitung im Alltag?

In vielen Diagrammen hat die Ableitung die Bedeutung einer Geschwindigkeit oder Zuwachs- bzw. Abnahmerate.

Hier ein kleines Beispiel.

Beispiel für die Verwendung der Ableitung

Im ersten Diagramm ist das Gewicht eines Babies für jeden Tag ab seiner Geburt eingetragen. Die Steigung dieser Kurve gibt an, wie sich die Gewichtszunahme pro Tag entwickelt hat.

Es ist zu erkennen, dass die Steigung zu Beginn etwas steiler ist als am Ende. Das bedeutet, dass das Baby am Anfang mehr g/Tag zugenommen hat als am Ende.

Doch wieviel genau? Über Steigungsdreiecke könnte man die durchschnittliche Zunahme zwischen einzelnen Tagen berechnen.

Gewichtszuwachse eines Babies: Praxisbeispiel Ableitung 1

Das für alle Tage zu wiederholen ist aber sehr mühsam. Hier hilft die Ableitung!

Wenn man für die blaue Kurve mittels Regression eine Funktionsgleichung erstellt und diese ableitet, erhält man die rote Kurve, den sogenannten Ableitungsgraph.

In diesem Ableitungsgraph sind für jeden Tag die "Steigungen" eingetragen und können gleich abgelesen werden.

Gewichtszunahme pro Tag: Praxisbeispiel Ableitung 2

Die Ableitung ist hier die Geschwindigkeit wie das Gewicht zunimmt. Zu Beginn ist die Geschwindigkeit der Zunahme hoch (ca. 80 g/Tag) nach 90 Tage liegt die Zunahmerate nur noch bei 40 g/Tag.

Allgemeine Bedeutungen der Ableitung

Bei allen Diagrammen, die auf der x-Achse die Zeit abgetragen haben, ist die Steigung also die Ableitung des Graphen gleichbedeutend mit einer Geschwindigkeit.

Merke

Hier klicken zum AusklappenAbleitung = momentane Steigung = Tangentensteigung = Geschwindigkeit = momentane Änderungsrate (Zunahme- oder Abnahmerate)

Was hat die zweite Ableitung für eine Bedeutung?

Die zweite Ableitung hilft zu entscheiden, ob sich eine Kurve im Uhrzeigersinn oder im Gegenuhrzeigersinn dreht, wenn wir uns im Koordinatensystem von links nach rechts bewegen. Die blaue Kurve dreht sich im Uhrzeigersinn. Man sagt auch, dass sie konkav ist. Die rote Kurve dreht sich im Gegenuhrzeigersinn.

Was sagt uns die 3 Ableitung?

Der Wechsel des Krümmungsverhaltens vom Graph einer Funktion an der Stelle x₀ wird durch den Wert der 3. Ableitung der Funktion bestimmt.

Was sagt die erste und zweite Ableitung?

◦ Die erste Ableitung f'(x) sagt etwas über die Steigung der ursprünglichen Funktion f(x). ◦ Die zweite Ableitung f''(x) sagt etwas über die Krümmung der ursprünglichen Funktion f(x).