Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit bei 2 Würfen mindestens eine 6 zu würfeln?

Mit dem Würfel aus Sicht der Wahrscheinlichkeitsrechnung / Stochastik befassen wir uns in diesem Artikel. Dies wird vor allem durch das Vorrechnen einiger Beispiele gezeigt. Dieser Artikel gehört zu unserem Bereich Mathematik.

Ein Würfel kennt eigentlich schon jeder aus dem realen Leben. Die meisten Würfel haben sechs verschiedene Seiten, die mit den Zahlen von 1 bis 6 durchnummeriert werden. Der prinzipielle Aufbau eines Würfel sieht wie folgt aus.

Sofern an dem Würfel nichts manipuliert wurde bzw. bei dessen Herstellung nichts schief gelaufen ist, ist die Wahrscheinlichkeit die Zahl 1 zu würfeln genauso groß wie eine der anderen Zahlen zu Würfeln. Und damit sind wir auch schon Mitten im Thema Stochastik/Wahrscheinlichkeit.

Baumdiagramm Würfel

Beginnen wir zunächst mit Berechnungen der Wahrscheinlichkeiten für einen Würfel, der völlig in Ordnung ist. Die Wahrscheinlichkeit für alle Zahlen auf dem Würfel - also das Würfeln dieser - ist gleich groß. Der Würfel hat sechs Seiten, damit ist die Wahrscheinlichkeit die Zahl 1 zu Würfeln ein Sechstel ( 1/6 ) bzw. bei der Zahl 5 ist diese ebenfalls ein Sechstel ( 1/6 ). So etwas zeichnet man in der Mathematik oftmals in ein Baumdiagramm ein. Für einen Wurf mit einem Würfel mit sechs Seiten sieht ein Baumdiagramm so aus.

Die Wahrscheinlichkeit für alle Zahlen ist also gleich groß. Dies kann man aus der eben gezeigten Grafik entnehmen. Und damit kann man nun arbeiten, was mit den folgenden Beispielen verdeutlicht werden soll:

1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit die Zahl 3 zu würfeln? Lösung: Die Wahrscheinlichkeit beträgt 1/6.
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit die Zahl 2 zu würfeln? Lösung: Die Wahrscheinlichkeit beträgt 1/6.
3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine 1 oder 3 zu würfeln? Lösung: Die Wahrscheinlichkeit eine 1 zu würfeln beträgt 1/6, ebenso ist die Wahrscheinlichkeit eine 3 zu würfeln ebenfalls 1/6. Von den sechs Seiten stellen also zwei Seiten das gewünschte Ergebnis dar. Damit beträgt die Gesamtwahrscheinlichkeit 2/6.
4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine gerade Zahl zu würfeln? Lösung: Die Zahlen 2, 4 und 6 sind gerade Zahlen. Somit sind 3 der 6 Würfelseiten mit geraden Zahlen versehen. Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit 3/6.
5. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine ungerade Zahl zu würfeln? Lösung: Die Zahlen 1, 3 und 5 sind ungerade Zahlen. Somit sind 3 der 6 Würfelseiten mit ungeraden Zahlen versehen. Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit 3/6.

In den bisherigen Beispielen wurde der Würfel nur einmal geworfen und die Wahrscheinlichkeit berechnet. Was passiert denn aber nun, wenn man mehrfach würfelt? Wie groß wäre also die Wahrscheinlichkeit zweimal am Stück eine sechs zu Würfel oder zweimal in Folge keine 3 zu würfeln? Dazu erweitern wir das Baumdiagramm um auch einen zweiten Wurf abzudecken. Da sich am Würfel nichts ändert, sieht dabei die zweite Stufe genauso aus wie die erste. Aus Platzgründen wird dieses Baumdiagramm etwas gekürzt dargestellt.

Um nun die Wahrscheinlichkeiten für zwei Würfe zu ermitteln, muss man die Wahrscheinlichkeiten des ersten Versuchs und des zweiten Versuchs multiplizieren. Auch hier einige Beispiele:

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung haben wir es mit Zufallsexperimenten zu tun. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis A eintritt, bezeichnen wir mit P(A).

Klassische Wahrscheinlichkeitsdefinition nach Laplace:

P(A) =Anzahl der für A günstigen Fälle

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Anzahl der möglichen Fälle

Beispiel: Bei einmaligem Würfeln mit einem fairen Würfel ist P(6) = 1/6.

Rechenregeln:

0 ≤ P(A) ≤ 1(das unmögliche Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 0,
das sichere Ereignis die Wahrscheinlichkeit 1)P(A oder B) = P(A) + P(B),
wenn A und B einander ausschließenz.B.: P(5 oder 6) = 1/6 + 1/6 = 2/6P(A') = 1 - P(A)
(Gegenereignis: A' = "nicht A")z.B.: P(nicht 6) = 1 - 1/6 = 5(6)P(A und B) = P(A)·P(B),
wenn A und B voneinander unabhängig sindz.B.: bei 2maligem Würfeln ist
P(2mal 6)= 1/6·1/6 = 1/36

Beispiele:

1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei 2maligem Würfeln mindestens 1mal "6" zu werfen?
   Wir können die günstigen und möglichen Fälle abzählen (kompliziert) oder so überlegen:
   Die Wahrscheinlichkeit für "0mal 6" beträgt 5/6·5/6 = 25/36.
   "Mindestens 1mal 6" ist das Gegenereignis dazu, also
   P(mind. 1mal 6) = 1 - P(0mal 6) = 1 - 25/36 = 11/36.

2. Wie oft muss man mindestens würfeln, um mit 90% Wahrscheinlichkeit mindestens 1mal 6 zu werfen?
   Analog zum vorigen Beispiel erhält man bei n-maligem Würfeln
   P(mind. 1mal 6) = 1 - (5/6)n
   Das soll 90% = 0,9 sein:
   1 - (5/6)n = 0,9
   Durch Umformen und Logarithmieren erhalten wir
   

   
   = 12,6
   d.h. man muss 13mal würfeln.

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Unter der bedingten Wahrscheinlichkeit P(B|A) (B unter der Bedingung A) versteht man die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis B eintritt, wenn man bereits weiß, dass das Ereignis A eingetreten ist. Es gilt:

P(B|A) = P(A und B)/P(A)

(Das ist nur eine Abwandlung der Regel "günstige durch mögliche Fälle". Die möglichen Fälle sind jetzt nur mehr die, die zum Ereignis A gehören.)

Beispiele:

1. Die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu würfeln unter der Bedingung, dass das Ergebnis gerade ist, beträgt (1/6)/(1/2) = 1/3.

   Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit bei 2 Würfen eine 6 zu würfeln?

   Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zweimal hintereinander eine Sechs zu würfeln? Antwort stern: ein Sechsunddreißigtel.

   Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit eine 6 zu würfeln?

   Also mit einem Wurf haben alle fünf Würfel die selbe Zahl. Jeder Würfel hat die Wahrscheinlichkeit von 1/6. Fün Würfel somit die Wahrscheinlichkeit von 1/7776. Es gibt 6 verschiedene Möglichkeiten: 6/7776 = 1/1296.

   Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit bei 5 Würfen mindestens eine 6 zu würfeln?

   =p(4)=0,p(5) = 1/(6⁵) und für n≥6 die Iteration p(n)=p(n−1)+5/(6⁶) · (1−p(n−6)) . Es kommt ca. 0.03126 heraus.

   Wie viele Möglichkeiten gibt es bei 2 mal würfeln?

   Würfeln mit 2 Würfeln. Bei dem Zufallsexperiment „Würfeln mit 2 Würfeln“ gibt es 36 mögliche Versuchsausgänge (Ergebnisse), also alle möglichen geordneten Paare von Augenzahlen.