Aufgabe:
Ein Zahlenschloss besteht aus 4 Ziffern (0-9) → insges. 10000 Mögl.
Wie viele Möglichkeiten bleiben übrig, wenn
a) alle Ziffern gerade und verschieden sind?
b) alle Ziffern größer als 6 sind (gleiche Ziffern zugelassen)?
c) genau drei Ziffern größer als 6 sind (gleiche Ziffern zugelassen)?
d) zwei Ziffern größer als 6 und zwei andere vorkommen (gleiche Ziffern zugelassen)
Wenn du noch bestimmst, wie viele Geheimzahlen es gibt, bei der (e) genau eine und (f)
keine Ziffer größer als 6 ist, dann sollten deine Ergebnisse von b, c, d, e und f zusammen alle Zahlen,
also 10 000 ergeben.
Problem/Ansatz:
Ich komme nicht auf die 10000, wenn ich meine Ergebnisse addiere.
Die Kombinatorik ist die Kunst des Zählens. Mit diesem Teilgebiet der Mathematik können wir die Zahl der möglichen Anordnungen oder Auswahlen von Objekten bestimmen.
Bestimmung der Zahl möglicher Anordnungen oder Auswahlen von
unterscheidbaren oder nicht unterscheidbaren Objekten
mit oder ohne Beachtung der Reihenfolge.
Entscheidungsbaum zur Kombinatorik
Permutation
Anzahl Möglichkeiten = n!
mit n: Anzahl Objekte
Typische Aufgaben sind die folgenden:
Ordne die vier Ziffern 1, 2, 3, 4 in allen möglichen Reihenfolgen. Wie viele gibt es?
12341243
1324
1342
1423
14322134
2143
2314
2341
2412
24213124
3142
3214
3241
3412
34214123
4132
4213
4231
4312
4321
Bilde aus den vier Buchstaben ROMA alle möglichen Reihenfolgen. Welche hat eine Bedeutung?
ROMAORMAMROAAROMROAMORAMMRAOARMORMOAOMRAMORAAORMRMAOOMARMOARAOMRRAOMOARMMAROAMRORAMOOAMRMAORAMORROMA (Stadt Rom),
RAMO (dat.sing. von ramus = Zweig)
ORAM (acc.sing. von ora = Rand, Grenze)
MORA (Verzögerung, Rast)
MARO (Familienname des Dichters Publius Vergilius Maro)
AMOR (Gott der Liebe)
ARMO (1. Person Präs. Aktiv von armare: ich rüste auf)
Permutation mit einer Wiederholung
Die Anzahl der Permutationen von n Objekten, von denen k identisch und damit nicht unterscheidbar sind, berechnet sich zu
Beispiel: SAAL
Berechne die Anzahl der Anordnungen.
n = 4 Das Wort hat 4 Buchstaben
k = 2 Zwei der Buchstaben (AA) sind identisch
4! / 2! = 24 / 2 = 12 Möglichkeiten
AALS AASL ALAS ALSA ASAL ASLA
LAAS LASA LSAA SAAL SALA SLAA
Permutation mit mehreren Wiederholungen
Gibt es nicht nur eine, sondern s Gruppen, mit jeweils k1,…,ks identischen Objekten, so lautet die Formel
Beispiel: MISSISSIPPI
Auf wie viele Arten kann das Wort Mississippi angeordnet (permutiert) werden?
n = 11 es hat 11 Buchstaben
k1 = 4 Der Buchstabe I kommt 4 mal vor
k2 = 4 Der Buchstabe S kommt 4 mal vor
k3 = 2 Der Buchstabe P kommt 2 mal vor
Es gibt also 34’650 Möglichkeiten, das Wort anzuordnen.
Hier gibt es einen Permutations-Generator.
Variation
Eine Variation oder geordnete Stichprobe ist eine Auswahl von Objekten mit einer bestimmten Reihenfolge.
- Darf jedes Objekt nur einmal auftreten spricht man von einer Variation ohne Wiederholung.
- Können Objekte mehrfach ausgewählt werden, so spricht man von einer Variation mit Wiederholung.
Variation ohne Wiederholung
Mögliche Anordnungen:
Beispiel: Ziehen von 3 Kugeln aus Urne mit 5 verschiedenen Kugeln
Wenn aus einer Urne mit fünf verschiedenen Kugeln dreimal ohne Zurücklegen gezogen wird, sind 5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 60 verschiedene Auswahlen möglich.
Ohne Wiederholung heisst bei der Urne auch: Ohne Zurücklegen.
Variation mit Wiederholung
Mögliche Anordnungen:
nk
Die Ermittlung der Anzahl möglicher Variationen ist eine Standardaufgabe der abzählenden Kombinatorik.
Beispiel: Ziehen von 3 Kugeln mit Zurücklegen aus Urne mit 5 verschiedenen Kugeln
Wenn aus einer Urne mit fünf verschiedenen Kugeln dreimal mit Zurücklegen gezogen wird, dann sind 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 53 = 125 verschiedene Auswahlen möglich
Kombination
Eine Kombination oder ungeordnete Stichprobe ist eine Auswahl von Objekten ohne Reihenfolge.
Bei einer Kombination ohne Wiederholung werden k aus n Objekten ohne Beachtung der Reihenfolge ausgewählt, wobei jedes Objekt nur einmal ausgewählt werden kann.
Kombination ohne Wiederholung
In einer Urne befinden sich fünf verschiedenfarbige Kugeln. Es sollen drei Kugeln ohne Zurücklegen (= ohne Wiederholung) und unter Beachtung der Reihenfolge gezogen werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es?