Was bedeuten die eckigen klammern in der mathematik

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Definitionsbereich, Klammern, Wertebereich

missmute 12:42 Uhr, 15.03.2012
Hallo, ich schreibe nächste Woche Abitur und habe eine ganz banale Frage, die aber trotzdem kaum einer mit Gewissheit beantworten kann: Was bedeuten beim Definitions- bzw Wertebereich die Klammern: "{", "}", "[", "]" und "(", ")"? Wenn ich mich richtig erinnere war das so: D={(2,6)} bedeutet, dass der Definitionsbereich von 2 bis 6 geht D={[2,6]} bedeutet, dass der Definitionsbereich bei 2 und 4 liegt. Aber ich kann mich leider nicht richtig dran erinnern und wäre im Abi gerne 100 % sicher. Bitte um schnelle Antworten
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Paulus 12:59 Uhr, 15.03.2012
Hallo missmute beide bedeuten, dass der Definitionsbereich von 2 bis 6 geht. Der Unterschied: mit der runden Klammern gehört das Ende des Intervalls NICHT dazu, bei der eckigen Klammer schon. Das heisst also folgendes: x∈{(2,6)}⇔{x∈ℝ|2<x<6} x∈{[2,6)}⇔{x∈ℝ|2≤x<6} x∈{(2,6]}⇔{x∈ℝ|2<x≤6} x∈ {[2,6]}⇔{x∈ℝ|2≤x≤6} Hinweis: manchmal sieht man auch an Stelle dieser Schreibweisen ( 2,6);[2,6) und (2,6] diese: ]2,6[;[2,6[ und ]2,6] Gruss Paul
Bummerang 13:03 Uhr, 15.03.2012
Hallo, bei Definitionsbereichen werden i.d.R die geschweiften Klammern nur für explizit angegebene Mengen verwendet, z.B. ℝ\{-1;1} bei der Funktion 1x2-1. Oder ℝ\{x| ∃k∈ℤ,x=2⋅k⋅π} für die Funktion 1sin(x). Gibt man Intervalle an, dann stehen die beiden Zahlen in der Klammer für die beiden Schranken des Intervalls. Die Art der Klammer gibt dabei an, ob diese Schranke auch mit zum Intervall gehören soll oder nicht. Bei einer eckigen Klammer gehört die danebenstehende Schranke mit dazu, bei der runden Klammer nicht. Diese Klammern können bei einer Intervallangabe auch gemixt auftreten. Deine Beispiele aber, bei denen Intervalle in einer geschweiften Klammer stehen, würden als einelementige Mengen interpretiert werden, die als Definitionsbereich nur einziges Element (nämlich das Interval) haben und dieses Intervall wäre dann nicht der Definitionsbereich der Funktion, sondern die Funktion müßte eine Funktion sein, die eine Menge und nicht nur einen Wert als Argument verträgt. Da bringst Du (und auch Paulus) einiges durcheinander.
missmute 13:50 Uhr, 15.03.2012
Danke für die schnellen Antworten :-)

Eine Klammer ist ein Zeichen oder Symbol, das zur Beschreibung einer Klammerung verwendet wird.

In der Schriftsprache dient sie als Satzzeichen zur Gliederung der syntaktischen Form. Eine großzügige Verwendung von Klammern gilt im deutschen Schriftsatz als schlechter Stil, Gedankenstriche oder die Auflösung von Schachtelsätzen werden meist bevorzugt. In anderen Sprachen, z. B. im Englischen, werden Klammern häufiger eingesetzt.

In der Mathematik drücken Klammern unter anderem einen Vorrang einer auszuführenden Rechenoperation vor anderen in der Rechenreihenfolge aus. Zum Beispiel ist das Ergebnis von 10 − (6 − 1) gleich 5, da die Rechnung innerhalb der Klammer zuerst ausgeführt wird, 10 − 6 − 1 ist dagegen gleich 3, da in diesem Fall von links nach rechts vorgegangen wird. In der höheren Mathematik dienen Klammern auch noch vielen anderen Zwecken, vor allem der Bezeichnung von Argumenten einer Funktion. Geschweifte, eckige und spitze Klammern haben in der Mathematik meist eine spezielle Bedeutung.

In ähnlicher Weise dienen Klammern auch in vielen Programmiersprachen zum Gruppieren von mehreren Arten von Programmelementen.

Inhaltsverzeichnis

• 1 Klammern in der Grammatik und Typographie
• 2 Klammern im Internationalen Phonetischen Alphabet
  • 2.1 Eckige Klammern
  • 2.2 Geschweifte/Geschwungene Klammern
• 3 Klammern in der Mathematik
  • 3.1 Gruppierungsklammern in Termen
  • 3.2 Mengenklammern
  • 3.3 Intervallklammern
  • 3.4 Funktionsargumente
  • 3.5 UND-Klammern
  • 3.6 Spezielle Operatoren
  • 3.7 Ableitungen
• 4 Klammern in Programmiersprachen
• 5 Quellen

Klammern in der Grammatik und Typographie

Gebräuchlich sind mehrere Arten von Klammern als Satzzeichen, welche fast ausschließlich paarig (also als öffnende und schließende Klammer) verwendet werden; die englischen Bezeichnungen unterscheiden sich im britischen (BE) und amerikanischen (AE) Englisch:

[]

()

〈〉

{}

Vor einer öffnenden und nach einer schließenden Klammer wird stets ein Leerzeichen gesetzt (außer es folgt – wie hier – ein Satzzeichen). Nach einer öffnenden und vor einer schließenden Klammer dagegen nicht.

【】

〔〕

〖〗

〚〛

Im Japanischen sind weitere Arten von Klammern gebräuchlich. Teilweise gibt es im Unicode-Zeichenstandard auch zusätzliche Kodierungen.

Klammern im Internationalen Phonetischen Alphabet

Eckige Klammern

[]

Das Internationale Phonetische Alphabet (IPA) unterscheidet die Eckige Klammer links „[“ und die Eckige Klammer rechts „]“.

Im IPA geben die Zeichen „[“ und „]“ jeweils den Beginn bzw. das Ende der phonetischen Transkription an; sie besitzen die IPA-Nummern 901 bzw. 902.

Geschweifte/Geschwungene Klammern

{}

Die geschweiften/geschwungenen Klammern im Internationalen Phonetischen Alphabet zeigen den Anfang bzw. das Ende prosodischer Notation an.

Klammern in der Mathematik

In der Mathematik werden Klammern meist ebenfalls paarig eingesetzt, wobei öffnende und schließende Klammer jeweils zueinander spiegelsymmetrisch sind. Es existieren jedoch Ausnahmen, etwa bei Intervallklammern, und auch einzelne, nicht paarige Klammern werden bisweilen verwendet.

Gruppierungsklammern in Termen

Klammern gruppieren Teilterme und verändern damit die Reihenfolge der Berechnung oder dienen lediglich der optischen Zusammenfassung von Teiltermen. Es werden hierfür üblicherweise runde Klammern verwendet. Bei komplexen Termen oder wenn spezielle Teilterme kenntlich gemacht werden sollen, können diese mit eckigen Klammern eingefasst werden.

Beispiel:

Mengenklammern

Bei Mengenangaben werden üblicherweise geschweifte Klammern benutzt:

Intervallklammern

Für Intervalle existieren verschiedene Notationen. Die beiden gebräuchlichsten sind im Falle eines offenen Intervalles

Statt eines Strichpunktes wird oft ein Komma zur Trennung der Intervallgrenzen verwendet, wenn eine Verwechslung mit dem Dezimalkomma ausgeschlossen ist.

Funktionsargumente

Gelegentlich werden Argumente von Funktionen in spitze statt in runde Klammern gesetzt, um eine bessere Unterscheidbarkeit von gruppierenden Klammern zu ermöglichen (f ist eine Funktion, g eine Variable):

Anzutreffen ist eine solche Schreibweise vor allem dort, wo in komplex geklammerten Termen verschiedene Funktionen auftauchen, etwa in der Statistik [1]:

UND-Klammern

Wenn mehrere Aussagen vertikal in einer großen geschweiften Klammer gruppiert werden, bedeutet dies, dass diese UND-verknüpft werden. Beispiel:

Spezielle Operatoren

Andere ebenfalls paarig verwendete Klammern sind spezielle Operatoren oder Funktionen:

• 
  (manchmal auch [x]) bezeichnet die größte ganze Zahl kleiner oder gleich x („Gaußklammer“)
• 
  bezeichnet die kleinste ganze Zahl größer oder gleich x
• 
  bezeichnet den Betrag von x
• 
  kann einen Binomialkoeffizienten bezeichnen (wenn n und k ganzzahlig sind und
  
  ) oder eine Matrix, und diese Matrix kann einen Vektor darstellen
• 
  ist ein Skalarprodukt oder Cantorsche Paarungsfunktion; davon abgeleitet ist die Bra-Ket-Notation.
• 
  ist der Kommutator der zwei Operatoren
  
  und
  
  im mathematischen Formalismus der Quantenmechanik, wo auch
• 
  , der Antikommutator zweier Operatoren, definiert ist. Eine alternative Schreibweise hierfür ist
  
  .
• 
  ist die Poissonklammer, ein bilinearer Differentialoperator in der hamiltonschen Mechanik.
• 
  ist die Kurzschreibweise des Integrals
  
  , siehe auch Integralrechnung
• (x)n,(x)n bezeichnet die fallende bzw. Faktorielle. aber: Verwechslungsgefahr mit dem Pochhammer-Symbol, das je nach Autor auch als x(n),
  
  oder (x,n) dargestellt wird.

Ableitungen

Höhere Ableitungen werden oft statt mit Ableitungsstrichen mit einem Exponenten in runden Klammern gekennzeichnet, da dies die Lesbarkeit erhöht:

Diese Notation wird ebenfalls verwendet, wenn die Anzahl der Ableitungen selbst über eine Variable oder einen Term ausgedrückt werden soll:

Klammern in Programmiersprachen

Klammern haben in verschiedenen Programmiersprachen unterschiedliche Bedeutungen. Bestimmte Bedeutungen sind jedoch relativ weit verbreitet:

• Veränderung der Berechnungsreihenfolge in Termen (wie in der Mathematik)
• Funktionsargumente
• Typumwandlungs-Operator (z. B. in C und C++)
• Listenbildung (z. B. in LISP und verwandte Sprachen)

• Index-Zugriff auf Arrays
• Listenoperationen (z. B. in Python, Logo und einigen anderen)

• Blockgrenzen (z. B. in C, C++, Java, JavaScript, LilyPond)
• Array- und Struktur-Literale (C, C++, Java)
• Kommentare (Pascal)

• Template-Argumente (z. B. in C++, Java ab 1.5)
• Tag-Begrenzer (z. B. in SGML, HTML, XML)

Quellen

1. ↑ Stahel, Werner A.: Statistische Datenanalyse. Eine Einführung für Naturwissenschaftler. 5. Auflage. Wiesbaden: Vieweg 2008.

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