Welche Zahlen lassen sich ohne Rest durch 9 teilen?

Teilbarkeitsbeziehungen spielen bei vielen zahlentheoretischen Überlegungen eine Rolle.
So kann man z. B. die Reste untersuchen, die natürliche Zahlen bei der Division durch eine Zahl b lassen.

Inhaltsverzeichnis Show

Mathe, 4. Klasse
Wann ist eine Zahl teilbar?
Was sind Teilbarkeitsregeln? Welche Teilbarkeitsregeln gibt es?
Arbeitsblätter und Übungen zur Anwendung der Teilbarkeitsregeln
Königspaket zur Teilbarkeit
Arbeitsblätter zur Teilbarkeit
Welche Zahl ist ohne Rest durch 9 teilbar?
Welche Zahlen kann ich durch 9 teilen?
Ist 3 durch 9 teilbar?
Ist 9 durch 252 teilbar?

Bei Division durch 5 können die Reste 0, 1, 2, 3 und 4 auftreten;
den Rest 0 lassen die Zahlen 0, 5, 10, 15, ..., 5n (n∈ℕ) ,
den Rest 1 lassen die Zahlen 1, 6, 11, 16, ..., 5n + 1 (n∈ℕ),
den Rest 2 lassen die Zahlen 2, 7, 12, 17, ..., 5n + 2 (n∈ℕ) ,
den Rest 3 lassen die Zahlen 3, 8, 13, 18, ..., 5n + 3 (n∈ℕ),
den Rest 4 lassen die Zahlen 4, 9, 14, 19, ..., 5n + 4 (n∈ℕ) .

Damit ist die Menge der natürlichen Zahlen ℕ in 5 Teilmengen
Ki (i = 0, 1, 2, 3, 4) natürlicher Zahlen, die bei Division durch 5 den Rest i lassen, unterteilt. Keine dieser Teilmengen ist leer, auch gibt es keine Zahl, die in zwei Teilmengen vorkommt. Die Gesamtheit (Vereinigung) der Teilmengen ergibt ℕ.

Damit liegt eine Klasseneinteilung vor und die Relation „die Zahl b lässt bei Division durch 5 denselben Rest wie die Zahl a“ (aRb) ist eine Äquivalenzrelation.

Eine Relation aRb heißt Äquivalenzrelation, wenn sie folgende Bedingungen erfüllt:
Sie ist

reflexiv, d. h. es gilt aRa,
symmetrisch, d. h. aus aRb folgt bRa,
transitiv, d. h. aus aRb und bRc folgt aRc
(wenn a den gleichen Rest lässt wie b und b den gleichen wie c, dann lassen auch a und c den gleichen Rest).

Gibt es in einer Menge eine Äquivalenzrelation, so gehört zu ihr eindeutig eine Klasseneinteilung (Unterteilung in Äquivalenzklassen) dieser Menge. Umgekehrt gehört zu jeder Klasseneinteilung eine Äquivalenzrelation.

Die Teilmengen K0, K1, K2, K3 und K4 heißen Restklassen modulo 5.
Wählt man aus jeder Klasse einen Vertreter aus, so erhält man ein vollständiges Restesystem modulo 5. Die Menge R={15;6;22;3;29} ist ein solches. Wählt man aus jeder Restklasse die kleinste Zahl aus, erhält man das System der kleinsten Reste.
Rk={0;1;2;3;4} ist das System der kleinsten Reste modulo 5.
Restklassen lassen sich für jede natürliche Zahl b > 1 bilden.

Wenn man die Teilbarkeitsrelation auf ganze Zahlen erweitert, was durchaus üblich ist, können für die Menge der ganzen Zahlen ℤ ebenfalls Restklassen gebildet werden. Die Zahlen –2 und 3 liegen dann modulo 5 in derselben Restklasse.

Mathe, 4. Klasse

Kostenlose Arbeitsblätter zum Thema Teilbarkeit und Teilbarkeitsregeln für Mathe in der 4. Klasse in der Grundschule

Woran erkenne ich, dass eine Zahl durch eine bestimmt Zahl teilbar ist? Um diese Frage zu beantworten helfen uns die Teilbarkeitsregeln. Durch die Bildung der Quersumme, durch einen Blick auf ihre letzte Ziffer oder durch die Teilbarkeit durch zwei andere Zahlen können wir feststellen, ob eine Zahl durch die gewünschte Zahl teilbar ist.

Die Teilbarkeitsregeln sicher zu beherrschen, erleichtert den Kindern den Umgang mit größeren Zahlen.

Anwendbar sind die Teilbarkeitsregeln auch bei den Arbeitsblättern zu Teiler und Vielfachen.

Wann ist eine Zahl teilbar?

Eine Zahl ist dann teilbar, wenn bei der Division dieser Zahl durch eine andere Zahl kein Rest bleibt.

Beispiel:

12 : 3 = 4

12 ist durch 3 teilbar

Was sind Teilbarkeitsregeln? Welche Teilbarkeitsregeln gibt es?

Teilbarkeitsregeln sind einfache Rechnungen zur Überprüfung der Teilbarkeit einer Zahl.

Um die Teilbarkeit durch Zahlen bis 10 zu überprüfen, gibt es folgende Teilbarkeitsregeln:

Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer gerade ist (0, 2, 4, 6 oder 8).
Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten beiden Ziffern gebildet wird, durch 4 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer durch 5 teilbar ist (0 oder 5).
Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 ist.

Lernziele:

Beziehungen zwischen den Zahlen erkennen
Rechenstrategien erkennen und nutzen
Zerlegen von Zahlen üben

Aufgaben:

Teilbarkeitsregeln anwenden
Teiler finden
Richtig oder falsch?

Arbeitsblätter und Übungen zur Anwendung der Teilbarkeitsregeln

Königspaket zur Teilbarkeit

zum Arbeitsblatt

zur Lösung

Welche Zahl ist ohne Rest durch 9 teilbar?

Teilbarkeitsregel zur 9: Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme, das heißt die Summe ihrer Ziffern, durch 9 teilbar ist, sonst nicht. 12564 ist durch 9 teilbar. Wie du siehst, fällt bei der Division kein Rest an 18 : 9 = 2. Die Quersumme 18 ist also durch 9 teilbar.

Welche Zahlen kann ich durch 9 teilen?

Natürliche Zahlen, die durch 9 teilbar sind.

Ist 3 durch 9 teilbar?

Wenn eine Zahl durch 9 teilbar ist, ist sie auch durch 3 teilbar. Die Teiler einer Zahl sind die Zahlen, durch die die Zahl ohne Rest geteilt werden kann.