Wie löst man Klammern in Klammern auf?

Die Klammerregeln beschreiben in der Arithmetik und der elementaren Algebra Vorschriften zum Auflösen von Klammern in reinen Summen und Differenzen, also Ausdrücken, in denen nur plus und minus vorkommen. Umgangssprachlich werden als Klammerregeln auch andere Regeln bezeichnet, die den Umgang mit Klammern in mathematischen Ausdrücken beschreiben, wie es das Distributivgesetz zulässt.

Für das Auflösen von Klammern in Summen und Differenzen gilt:

Steht ein Pluszeichen vor der Klammer, so kann man die Klammer einfach weglassen.

Steht ein Minuszeichen vor der Klammer, so darf die Klammer nur dann weggelassen werden, wenn die Zeichen[1] innerhalb der Klammer umgekehrt werden.

• 5+(1−5)=5+1−5=1{\displaystyle 5+(1-5)=5+1-5=1}
  
• 3−(−3+7)=3+3−7=−1{\displaystyle 3-(-3+7)=3+3-7=-1}
  
• (n+1)−(n−1)=n+1−n+1=2{\displaystyle (n+1)-(n-1)=n+1-n+1=2}
  

Treten Klammern in mathematischen Ausdrücken auf, so werden die Operationen (z. B. plus oder mal) innerhalb der Klammern immer vor denjenigen außerhalb der Klammern ausgeführt.

Sitzt du gerade vor einem richtig langen Term mit vielen Klammern, und weißt einfach nicht, wie du ihn vereinfachen kannst?

Hier lernst du, welche Arten von Klammern es gibt, weshalb man Klammern überhaupt braucht, und wie du Klammern richtig auflöst.

Klammern auflösen einfach erklärt

In einfachen Termen mit Additionen oder Subtraktionen wird von links nach rechts gerechnet, wie beim Lesen. Die Rechnungen werden nach und nach durchgeführt. Sind im Term jedoch auch Multiplikationen und Divisionen enthalten, so gilt die Punkt-vor-Strich-Regel.

Manchmal will man aber trotzdem zuerst die Strichrechnung durchführen, weshalb man in solchen Situationen Klammern braucht.

Punkt-vor-Strich-Regel

Falls du die Punkt-vor-Strich-Rechnung nicht mehr ganz präsent hast, hilft dir die folgende Definition weiter:

Punkt-vor-Strich-Regel:

Punktrechnungen ( ⋅ und : ) müssen vor Strichrechnungen ( + und - ) gerechnet werden.

Diese Regel gibt dir vor, dass du in einem Term zuerst multiplizieren oder dividieren musst, bevor du addieren oder subtrahieren darfst. Die Punktrechnungen sind also stärker als die Strichrechnungen.

Es gibt nun aber Situationen, da möchte oder muss man zuerst eine Strichrechnung durchführen. Würde man keine Klammern setzen, dann würde das wegen der Regel aber nicht funktionierten. Setzt man die Strichrechnung jedoch in eine Klammer, dann garantiert das, dass die Strichrechnung zuerst durchgeführt werden kann. Denn es gilt: Klammern sind stärker als Punktrechnungen.

Aufgabe

In der Klasse 5c sind 13 Mädchen und 15 Jungen. Jedes Kind bekommt am Anfang des Schuljahres 7 Bücher.

Wie viele Bücher bekommen die Kinder der 5c insgesamt?

Lösung

Um herauszufinden, wie viele Bücher an die Schüler*innen der Klasse verteilt werden, musst du zunächst herausfinden, wie viele Schüler*innen die Klasse hat. Dazu addierst du 13 und 15.

Im nächsten Schritt kannst du die Schüleranzahl mit der Anzahl an Büchern pro Kind multiplizieren und kommst auf das Ergebnis.

Schreibe dies zunächst ohne Klammern in einem Term auf:

Würdest du die Rechnung so stehen lassen, würde jedoch die Punkt-vor-Strich-Regel greifen, und du müsstest zuerst multiplizieren. Wie eben überlegt, musst du aber zuerst die Addition durchführen.

Du setzt also eine Klammer:

Jetzt darfst du wie gewünscht erst addieren, und dann multiplizieren.

Negatives Vorzeichen

Auch das Vorzeichen von Zahlen kann ein Grund dafür sein, weshalb Klammern benötigt werden. Negative Zahlen schreibt man normalerweise in eine Klammer. So wird klar, dass das Minus vor der Zahl zur Zahl gehört und keine Rechenoperation ist.

Besonders wichtig sind Klammern dann, wenn negative Zahlen in Termen auftauchen. Würde man die Klammern weglassen, dann würden zwei Rechenzeichen direkt aufeinanderfolgen.

Klammerarten

Es gibt insgesamt drei Arten von Klammern:

• runde Klammern: ( )
• eckige Klammern: [ ]
• geschweifte Klammern: { }

Die Klammerart, die am häufigsten verwendet wird, ist die runde Klammer. Die beiden anderen Klammerarten kommen dann zum Einsatz, wenn eine Rechnung komplizierter ist, und eine Klammer innerhalb einer anderen Klammer vorkommt. Hierbei gilt: eckige Klammern kommen um runde Klammern und geschweifte Klammern kommen um eckige Klammern.

Die runden Klammern sind also innen, die geschweiften Klammern außen.

Ein Beispiel für einen Term, in dem alle drei Arten von Klammern verwendet werden:

Es gibt auch Bundesländer, in denen die eckigen und geschweiften Klammern nicht verwendet werden. Stattdessen werden hier nur runde Klammern eingesetzt. Das ist natürlich auch nicht falsch, du musst nur genauer schauen, welche Klammer innen und welche außen steht.

Klammern ausmultiplizieren

Die Grundlage, um Klammern auszumultiplizieren, ist das Distributivgesetz:

Für alle reellen Zahlen a, b und c gilt:

Beim Distributivgesetz wird also jede Zahl in der Klammer mit der Zahl c multipliziert. Deshalb sagt man auch, dass c auf die Zahlen a und b verteilt wird.

Schau dir doch auch mal den Artikel zum Distributivgesetz an!

Um beim Ausmultiplizieren nicht durcheinanderzukommen, hilft es, Bögen zu zeichnen:

Abbildung 1: Hilfsbögen beim Ausmultiplizieren

Mithilfe des Distributivgesetzes kann man also Klammern auflösen, die mit einer Zahl oder einem Faktor multipliziert werden sollen:

Die folgenden Umformungen basieren alle auf dem Distributivgesetz.

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

Aufgabe 4

In Aufgabe 3 hast du gesehen, dass das Distributivgesetz auch dann gilt, wenn in der Klammer nicht nur zwei Zahlen stehen, sondern auch drei (oder vier oder noch mehr).

Das Distributivgesetz kann man auch anwenden, wenn zwei Klammern miteinander multipliziert werden sollen.

Dabei kann man sich eine einfache Regel merken:

Rechenregel zur Multiplikation zweier Summen oder Differenzen

Es gilt:

Es wird also jedes Termglied aus der vorderen ersten Klammer mit jedem Termglied aus der hinteren Klammer multipliziert.

Auch hier helfen Bögen beim Rechnen:

Abbildung 2: Hilfsbögen zum Klammern ausmultiplizieren

Minusklammern auflösen

Eine Art von Klammer, die vielen Schwierigkeiten bereitet, ist die Minusklammer.

Eine Minusklammer ist eine Klammer, in der eine Summe oder eine Differenz steht, und vor der ein negatives Vorzeichen steht.

Steht ein Minus vor einer Klammer, in der eine Summe oder eine Differenz ist, kann man die Klammern nie einfach weglassen. Es ist jedoch nicht schwer, Minusklammern aufzulösen, wenn man eine Regel im Kopf behält:

Minusklammern werden aufgelöst, indem alle Vorzeichen innerhalb der Klammer umgedreht werden.

Steht in einer Klammer ein Produkt oder ein Quotient, so wird nicht von einer Minusklammer gesprochen. Wie man solche Klammern auflösen kann, siehst du in Aufgabe 3 des folgenden Beispielkastens.

Aufgabe 1

Vereinfache den folgenden Term:

Lösung

Du drehst du alle Vorzeichen in den Klammern um, vor denen ein Minus steht:

Dabei wurde in der ersten Umformung die Klammer beibehalten, damit das Vorgehen übersichtlicher ist. Du könntest aber direkt die dritte Zeile des Terms aufschreiben und die zweite Zeile weglassen.

Aufgabe 2

Vereinfache den folgenden Term:

Lösung

Diese Aufgabe ist besonders gemein, da eine Minusklammer in Verbindung mit dem Distributivgesetz vorkommt. Du hast hier zwei Möglichkeiten der Herangehensweise:

1. Zuerst die Minusklammer "auflösen": dazu wird das Minus in die Klammer gezogen, die Klammer muss aber noch stehen bleiben.
2. Zuerst ausmultiplizieren: auch hier muss die Klammer wegen des Minus stehen bleiben.

Weil solche Situationen gerne zu Vorzeichenfehlern führen, siehst du hier beide Möglichkeiten, wie du den Term vereinfachen kannst.

Variante 1:

Variante 2:

Aufgabe 3

Vereinfache den folgenden Term:

Lösung

In dieser Klammer befindet sich ein Produkt, weshalb man nicht von einer Minusklammer spricht.

Um diese Klammer aufzulösen, berechnest du einfach das Produkt innerhalb der Klammer und lässt dann die Klammer weg:

Zwischen der zweiten und der dritten Zeile wurde dabei das Kommutativgesetz angewendet.

Terme mit verschiedenen Klammerarten auflösen

Sitzt du jetzt vor einem langen Term und weißt einfach nicht, wo du anfangen sollst, ihn zusammenzufassen?

Sind in einem Term mehrere Klammerarten enthalten, dann gibt es eine recht einfache Regel:

Regel zum Auflösen von Klammern:

Klammern werden von innen nach außen aufgelöst.

Es wird also zunächst die innerste Klammer aufgelöst. Ist diese verrechnet, so kannst du dich mit der nächsten Klammer beschäftigen. Du musst dich also Schritt für Schritt von innen nach außen vorarbeiten.

Nutzt du nur runde Klammern, dann musst du genau schauen, welche Klammer ganz innen steht.

Nutzt du auch eckige und geschweifte Klammern, dann kann man (meistens) in der Reihenfolge rund-eckig-geschweift auflösen.

Hier siehst du das an dem komplizierten Term, den du vorhin bei den verschiedenen Klammerarten gesehen hast:

Der Term lautete:

Zuerst löst du die innere runde Klammer auf. Du kannst die Klammer weglassen, weil innerhalb der Klammer eine Summe steht, und vor der Klammer ein +. Die Klammer erfüllt also keinen Zweck.

Bevor du als Nächstes die eckige Klammer auflöst, kannst du innerhalb der Klammer noch weiter vereinfachen.

Dann musst du zunächst die Minusklammer auflösen, bevor du das Distributivgesetz anwenden kannst.

Jetzt verrechnest du innerhalb der geschweiften Klammer, was verrechnet werden kann. Anschließend löst du die geschweifte Klammer mithilfe des Distributivgesetzes.

Klammern auflösen Regeln

Das ist die Reihenfolge, nach der du Terme mit Klammern berechnest:

1. Klammern berechnen oder auflösen, dabei "von innen nach außen" vorgehen,
2. Potenzen ausrechnen,
3. Punktrechnungen durchführen,
4. Strichrechnungen durchführen.

Ausführlich wird dir das auch im Artikel "Vorrangregeln" erklärt.

So erkennst du unwichtige Klammern

Manche Klammern in Termen dienen nur der Übersicht. Sie erfüllen keinen besonderen Zweck, und können somit weggelassen werden.

Aber woran erkennst du solche Klammern?

Am besten überlegst du dir hierzu, weshalb man Klammern verwendet und welche Zwecke sie erfüllen können.

• Grund 1: Klammern wirken entgegen der Punkt-vor-Strich-Regel, ermöglichen also eine Strichrechnung vor einer Punktrechnung.
• Grund 2: Klammern "schützen" davor, dass zwei Rechenzeichen direkt hintereinanderstehen.
• Grund 3: Der Inhalt der Klammer soll im Gesamten potenziert werden.
• Grund 4: Es handelt sich um eine Minusklammer.

Wenn du dir nun einen Term anschaust und darin eine Klammer entdeckst, kannst du diese vier Gründe durchgehen und überlegen, ob es die Klammer braucht, oder ob sie nicht benötigt wird. Kannst du alle vier mit Nein beantworten, ist es wahrscheinlich, dass du die Klammer weglassen kannst.

Term 1

Gehe die Gründe durch:

• Wirkt diese Klammer gegen "Punkt-vor-Strich"? → NEIN, denn in diesem Term kommen nur Strichrechnungen vor.
• Schützt diese Klammer davor, dass zwei Vorzeichen direkt hintereinanderstehen? → NEIN.
• Wird die Klammer potenziert? → NEIN.
• Handelt es sich um eine Minusklammer? → NEIN.

Die Klammer kann also weggelassen werden. Lass sie also weg und vereinfache den Term:

Im dritten Schritt wurde dabei das Kommutativgesetz angewendet, um die Summanden umzuordnen.

Term 2

Gehe wieder die Gründe durch:

• Wirkt diese Klammer gegen "Punkt-vor-Strich"? → NEIN, denn außerhalb der Klammer stehen nur Strichrechnungen.
• Schützt diese Klammer davor, dass zwei Vorzeichen direkt hintereinanderstehen? → NEIN.
• Wird die Klammer potenziert? → NEIN.
• Handelt es sich um eine Minusklammer? → NEIN. In der Klammer steht ein Produkt.

Die Klammer kann also weggelassen werden.

Im vierten Schritt wurde der Term umsortiert, um die Glieder mit der Variable x zusammenzufassen.

Term 3

Gehe wieder die Gründe durch:

• Wirkt diese Klammer gegen "Punkt-vor-Strich"? → NEIN, denn außerhalb der Klammer stehen nur Strichrechnungen.
• Schützt diese Klammer davor, dass zwei Vorzeichen direkt hintereinanderstehen? → NEIN.
• Wird die Klammer potenziert? → JA.

Die Potenz ist das Aus für deine Überlegungen: Diese Klammer kann nicht einfach weggelassen werden, sondern muss erst potenziert werden.

Die Fertigkeit, unnötige Klammern zu erkennen, benötigt einiges an Übung und ein bisschen Erfahrung mit Termen. Wenn du dir also nicht sicher bist, ob eine Klammer wichtig ist oder nicht, lass sie im Zweifelsfall stehen und berechne den Term zur Not ein wenig umständlicher. Mit der Zeit werden dir aber immer mehr Klammern auffallen, die du nicht benötigst.

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